Question

В прямой призме ABCA1B1C1, AB=12,BC=21,AC=20. Диагональ боковой грани A1C составляет с плоскостью грани CC1BB1 угол 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Площадь полной поверхности призмы можно найти, сложив площади всех ее боковых граней (2 площади прямоугольников) и площадь основания (квадрата).

1. Площадь боковой грани: Площадь прямоугольника можно найти по формуле: Площадь = длина * ширина. В данном случае, длины сторон бокового прямоугольника равны ac и a1c. Первую сторону мы уже знаем из условия задачи: ac = 20. Вторую сторону нам необходимо найти.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов: ac^2 = a1c^2 + a1a^2 - 2 * a1c * a1a * cos(30°) 20^2 = a1c^2 + 12^2 - 2 * 20 * 12 * cos(30°) 400 = a1c^2 + 144 - 480 * sqrt(3) / 2 400 - 144 = a1c^2 - 240 * sqrt(3) 256 = a1c^2 - 240 * sqrt(3) a1c^2 = 256 + 240 * sqrt(3) a1c = sqrt(256 + 240 * sqrt(3))

Таким образом, одна сторона боковой грани равна: ab = sqrt(256 + 240 * sqrt(3))

Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани, умножив длину и ширину: Площадь одной боковой грани = ac * ab = 20 * sqrt(256 + 240 * sqrt(3))

2. Площадь основания: Площадь основания равна площади квадрата со стороной ab: Площадь основания = ab^2 = (sqrt(256 + 240 * sqrt(3)))^2 = 256 + 240 * sqrt(3)

3. Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей всех его граней: Площадь полной поверхности = 2 * (Площадь боковой грани) + Площадь основания Площадь полной поверхности = 2 * (20 * sqrt(256 + 240 * sqrt(3))) + (256 + 240 * sqrt(3))

Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна 2 * (20 * sqrt(256 + 240 * sqrt(3))) + (256 + 240 * sqrt(3)).