Question

В треугольнике АВС биссектриса ВD равна , а стороны АВ = 6 и ВС = 3. Точка М – середина стороны АВ. Отрезки ВD и СМ пересекаются в точке О. Найти АС и определить площадь четырехугольник АМОD.

Answer 1

Для начала, давай разберемся с треугольником ABC и ситуацией в нем. У нас есть треугольник ABC, где BD - биссектриса угла B, AB = 6, и BC = 3. Точка M - середина стороны AB, а отрезки BD и CM пересекаются в точке O. Нам нужно найти AC и определить площадь четырехугольника AMOD.

Поскольку BD является биссектрисой угла B, это означает, что отношение длины AB к длине BC равно отношению длины AD к DC:

\(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}\)

Так как AB = 6 и BC = 3, то это отношение будет:

\(\frac{6}{3} = \frac{AD}{DC}\)

Отсюда получаем, что AD = 2 * DC.

Теперь, так как M - середина стороны AB, то AM = MB = 6 / 2 = 3.

Теперь давай воспользуемся тем, что BD - биссектриса угла B, чтобы найти отношение длин отрезков AD и DB. Поскольку BD является биссектрисой, отношение AD к DB будет равно отношению длины AC к BC:

\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)

Подставим известные значения: AD = 2 * DC = 2 * 1 = 2 и DB = 3 (так как MB = 3).

\(\frac{2}{3} = \frac{AC}{3}\)

Отсюда получаем, что AC = 2. Таким образом, AC = 2.

Теперь, чтобы найти площадь четырехугольника AMOD, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\)

Четырехугольник AMOD состоит из двух треугольников: AMO и DMO. Они оба равны, так как AM = MD и AO = OD (по свойству биссектрисы), и у них общая высота, равная высоте треугольника ABC.

Таким образом, площадь четырехугольника AMOD будет равна сумме площадей двух треугольников AMO и DMO:

\(S_{AMOD} = 2 \times S_{AMO} = 2 \times S_{DMO}\)

Площадь треугольника AMO (и DMO) можно найти, используя формулу:

\(S_{AMO} = \frac{1}{2} \times AM \times h\)

Где \(h\) - высота треугольника ABC. Так как треугольник ABC - прямоугольный (из-за того, что BC - половина AB), то высота будет равна BC = 3.

\(S_{AMO} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\)

Таким образом, площадь четырехугольника AMOD равна \(2 \times 4.5 = 9\).