Question

Периметр ромба равен 80, а один из углов равен 30. Найдите площадь ромба

Answer 1

Ответ: Площадь ромба можно найти по формуле $$S = \frac{d_1 d_2}{2}$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба. Чтобы найти диагонали, нужно воспользоваться свойством ромба, что его стороны равны и его углы противоположны по величине. Пусть сторона ромба равна $$a$$, тогда периметр ромба равен $$4a$$, и из условия задачи получаем $$a = \frac{80}{4} = 20$$. Также пусть один из углов ромба равен $$\alpha$$, тогда другой угол равен $$180 - \alpha$$. Из условия задачи $$\alpha = 30$$, а значит $$180 - \alpha = 150$$. Теперь можно найти диагонали ромба, используя теорему косинусов. Для диагонали $$d_1$$ имеем $$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos \alpha = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20^2 \cdot \cos 30 = 800 - 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 400(2 - \sqrt{3})$$. Аналогично для диагонали $$d_2$$ имеем $$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos (180 - \alpha) = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20^2 \cdot \cos 150 = 800 - 400 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 400(2 + \sqrt{3})$$. Тогда площадь ромба равна $$S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{\sqrt{d_1^2} \sqrt{d_2^2}}{2} = \frac{\sqrt{400(2 - \sqrt{3})} \sqrt{400(2 + \sqrt{3})}}{2} = \frac{20 \sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}}{2} = \frac{20 \sqrt{4 - 3}}{2} = \frac{20}{2} = 10$$. Ответ: площадь ромба равна 10.