Question

Диаметр шара равен 4 м.Через конец диаметра проведена плоскость под углом зо градусов к нему.Найдите площадь сечение шара этой плоскостью.

Answer 1

Для нахождения площади сечения шара плоскостью, проведенной под углом к его диаметру, можно воспользоваться геометрическими соображениями.

Диаметр шара делит его на две равные полусферы. Плоскость, проходящая через конец диаметра под углом 20 градусов к нему, также будет проходить через центр шара. Это следует из того, что угол между диаметром и плоскостью равен углу между линией, соединяющей центр шара с концом диаметра, и самим диаметром. Таким образом, у нас получается треугольник, в котором один угол равен 20 градусам, а два других угла прямые (90 градусов каждый).

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрией для определения размеров этого треугольника. Поскольку у нас есть угол 20 градусов и прямые углы, мы можем использовать тангенс этого угла. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему.

\[ \tan(20^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \]

Поскольку противолежащий катет — это радиус шара, а прилежащий — это половина диаметра, мы можем записать:

\[ \tan(20^\circ) = \frac{r}{\frac{d}{2}} \]

Теперь мы можем выразить радиус через диаметр:

\[ r = \frac{d}{2} \cdot \tan(20^\circ) \]

Теперь мы знаем радиус сечения шара плоскостью. Площадь сечения сферы плоскостью можно выразить как площадь круга с радиусом этого сечения. Формула площади круга:

\[ S = \pi \cdot r^2 \]

Подставим значение радиуса:

\[ S = \pi \cdot \left( \frac{d}{2} \cdot \tan(20^\circ) \right)^2 \]

Таким образом, площадь сечения шара этой плоскостью равна:

\[ S = \pi \cdot \left( \frac{4}{2} \cdot \tan(20^\circ) \right)^2 \]

Вычислите численное значение для получения конечного результата.