Question

Помогите с геометрией пожалуйста!!! 1) Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Высота конуса=4√2. Найдите его объем. 2) В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до противолежащей боковой грани= m. Боковые грани наклонены к основанию под углом a (альфа). Найдите объем, вписаного в пирамиду конуса

Answer 1

Давайте решим задачи по порядку:

Задача 1:

Для нахождения объема конуса, нам нужно знать его радиус и высоту.

Дано: - Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса: \( 120^\circ \). - Высота конуса: \( 4\sqrt{2} \).

Сначала найдем радиус конуса, используя центральный угол. Он равен двойному углу в центре круга, который образуется разверткой боковой поверхности конуса.

\[ 2 \cdot \text{Угол в центре} = 120^\circ \]

\[ \text{Угол в центре} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]

Теперь мы знаем, что треугольник, образованный центром круга, радиусом и стороной конуса, является равносторонним треугольником. Это означает, что угол между радиусом и боковой поверхностью конуса равен \( 60^\circ \).

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса. В равностороннем треугольнике:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{\text{Радиус}}{\text{Сторона конуса}} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{\text{Радиус}}{\text{Сторона конуса}} \]

\[ \text{Радиус} = \frac{\text{Сторона конуса}}{2} \]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в основном треугольнике конуса:

\[ \text{Высота}^2 = \text{Сторона конуса}^2 - \text{Радиус}^2 \]

\[ (4\sqrt{2})^2 = \text{Сторона конуса}^2 - \left(\frac{\text{Сторона конуса}}{2}\right)^2 \]

\[ 32 = \frac{3}{4} \cdot \text{Сторона конуса}^2 \]

\[ \text{Сторона конуса}^2 = \frac{32}{3} \]

\[ \text{Сторона конуса} = \sqrt{\frac{32}{3}} \]

Теперь у нас есть радиус и высота, и мы можем найти объем конуса:

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \pi \text{Радиус}^2 \text{Высота} \]

Подставим значения:

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{32}}{2}\right)^2 \cdot 4\sqrt{2} \]

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{32}{4} \cdot 4\sqrt{2} \]

\[ \text{Объем конуса} = 8\pi\sqrt{2} \]

Задача 2:

Для нахождения объема вписанного конуса в правильную треугольную пирамиду, нам нужно знать радиус этого конуса. Воспользуемся тем, что высота пирамиды до вершины равна \( m \).

Известно, что боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом \( \alpha \).

Посмотрим на сечение пирамиды, проходящее через вершину и основание. Это сечение образует прямоугольный треугольник, вписанный в окружность с радиусом \( r \) (радиус вписанной в пирамиду окружности).

\[ \tan(\alpha) = \frac{r}{m} \]

Отсюда можно выразить \( r \):

\[ r = m \tan(\alpha) \]

Теперь, зная радиус \( r \), мы можем найти объем вписанного конуса:

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h \]

Подставим значения:

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \pi \left(m \tan(\alpha)\right)^2 \cdot m \]

\[ \text{Объем конуса} = \frac{1}{3} \pi m^3 \tan^2(\alpha) \]

Таким образом, мы нашли объем вписанного в пирамиду конуса.