Question

Найдите высоту, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если его катеты равны: 1) 5м, 12м; 2) 12м, 16м Прошу подробно расписать

Answer 1

Для нахождения высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора и формулой для площади треугольника.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Таким образом, если \(c\) - длина гипотенузы, а \(a\) и \(b\) - длины катетов, то теорема Пифагора выражается следующим уравнением:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Сначала рассмотрим первый случай, где катеты равны 5 м и 12 м. Подставим их в уравнение теоремы Пифагора:

\[c^2 = 5^2 + 12^2\] \[c^2 = 25 + 144\] \[c^2 = 169\]

Теперь найдем квадратный корень из обеих сторон:

\[c = \sqrt{169}\] \[c = 13\]

Таким образом, длина гипотенузы равна 13 м. Теперь мы можем использовать эту информацию для нахождения высоты.

Формула для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов. Мы также можем выразить площадь через длину гипотенузы и высоту, проведенную к гипотенузе:

\[S = \frac{1}{2}c \cdot h\]

Теперь мы можем приравнять эти два выражения:

\[\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}c \cdot h\]

Подставим известные значения:

\[\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h\]

Решим уравнение:

\[30 = 6.5h\]

\[h = \frac{30}{6.5}\]

\[h \approx 4.615\]

Таким образом, высота, проведенная к гипотенузе в первом случае, составляет примерно 4.615 м.

Теперь рассмотрим второй случай, где катеты равны 12 м и 16 м. Повторим те же шаги:

\[c^2 = 12^2 + 16^2\] \[c^2 = 144 + 256\] \[c^2 = 400\]

\[c = \sqrt{400}\] \[c = 20\]

Теперь используем эту информацию для нахождения высоты:

\[\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot h\]

\[96 = 10h\]

\[h = \frac{96}{10}\]

\[h = 9.6\]

Таким образом, высота, проведенная к гипотенузе во втором случае, равна 9.6 м.