Question

Дано;Правильная четырехугольная пирамида a-сторона основания,a=12альфа-угол между боковой гранью и плоскостью основания;Альфа=60Найти:Апофему

Answer 1

Для решения задачи нам нужно использовать геометрические свойства правильных четырехугольных пирамид.

Апофема (или высота пирамиды) правильной четырехугольной пирамиды может быть найдена с использованием теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали основания, апофемой и половиной высоты пирамиды.

Давайте обозначим длину стороны основания через \(a\), а угол между боковой гранью и плоскостью основания через \(\alpha\). Также у нас есть правильная четырехугольная пирамида, поэтому угол между боковой гранью и боковой ребром равен \(90^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали основания (\(a/2\)), апофемой (\(h\)), и половиной бокового ребра (\(l/2\), где \(l\) - длина бокового ребра).

Применяя теорему Пифагора, получаем следующее уравнение:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = h^2 \]

Также у нас есть связь между длиной бокового ребра и углом \(\alpha\). По определению тангенса угла:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \]

Решая эти уравнения относительно \(h\), мы сможем найти апофему. Сначала рассмотрим уравнение Пифагора:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = h^2 \]

\[ \frac{a^2}{4} + \frac{l^2}{4} = h^2 \]

\[ h^2 = \frac{a^2 + l^2}{4} \]

Теперь подставим это выражение в уравнение тангенса:

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{\frac{a^2 + l^2}{4}}}{\frac{a}{2}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{a^2 + l^2}}{a} \]

Теперь, у нас есть уравнение для \(\tan(\alpha)\), и мы знаем, что \(\alpha = 60^\circ\). Подставим это значение:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{a^2 + l^2}}{a} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{\sqrt{a^2 + l^2}}{a} \]

\[ a\sqrt{3} = \sqrt{a^2 + l^2} \]

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\[ 3a^2 = a^2 + l^2 \]

\[ 2a^2 = l^2 \]

\[ l = a\sqrt{2} \]

Теперь, когда мы знаем длину бокового ребра (\(l\)), подставим ее обратно в уравнение Пифагора:

\[ h^2 = \frac{a^2 + l^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{a^2 + (a\sqrt{2})^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{a^2 + 2a^2}{4} \]

\[ h^2 = \frac{3a^2}{4} \]

\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, апофема правильной четырехугольной пирамиды равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).