Question

1. Угол А тругольника АВС равен 80*. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы внешних углов при вершинах В и С.   2. Центры трех попарно касающихся окружностей совпадают с вершинами треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см. найдите радиусы этих окружностей.   3. Из середины О гипотенузы восставлен перпендикуляр к ней, пересекающий один катет в точке Р, а продолжение другого в точке Q. Найдите гипотенузу, если ОР=р, ОQ=q.   4. В правильном треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны точки Р и Q соответственно, причем АР:РВ=1:3 и РQIIАС. Найдите периметр трапеции АРQC, если сторона треугольника АВС=12 см. 

Answer 1

1. Найдем угол А треугольника АВС, используя информацию о том, что его угол равен 80 градусов. У треугольника АВС сумма всех углов равна 180 градусов. Поскольку угол АВС равен 80 градусов, угол В равен 180 - 80 = 100 градусов.

Для нахождения угла между прямыми, содержащими биссектрисы внешних углов при вершинах В и С, нужно использовать свойство: угол между биссектрисами внешних углов равен полусумме мер углов, образованных этими биссектрисами. Таким образом, угол между прямыми, содержащими биссектрисы внешних углов при вершинах В и С, равен (100 + 100)/2 = 100 градусов.

2. Для нахождения радиусов трех окружностей, центры которых совпадают с вершинами треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см, нужно использовать свойство: радиус окружности, касающейся стороны треугольника, равен полупериметру треугольника, деленному на разность полупериметра треугольника и длины этой стороны.

Для треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см, его полупериметр равен (5 + 6 + 7)/2 = 9 см. Таким образом, радиус первой окружности равен 9/(9 - 5) = 9/4 = 2.25 см. Радиус второй окружности равен 9/(9 - 6) = 9/3 = 3 см. Радиус третьей окружности равен 9/(9 - 7) = 9/2 = 4.5 см.

3. Для нахождения гипотенузы треугольника, если ОР = р и ОQ = q, нужно использовать теорему Пифагора. В данном случае, ОР и ОQ являются катетами, а гипотенуза - гипотенузой треугольника.

Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: р^2 + q^2 = гипотенуза^2

4. Чтобы найти периметр трапеции АРQC, если сторона треугольника АВС равна 12 см, нужно использовать информацию о том, что соотношение сторон треугольника АРВ является 1:3.

Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон. Поскольку АР:РВ = 1:3, длина стороны РС равна 12 - 3 = 9 см.

Таким образом, периметр трапеции АРQC равен 12 + 3 + 9 + 9 = 33 см.