Question

У трикутнику центр вписаного кола лежить на медіані. доведіть, що цей трикутник рівнобедрений

Answer 1

Припустимо, що ABC - трикутник, в якому центр вписаного кола I лежить на медіані AM (M - середина BC).

Для доведення рівнобедреності трикутника ABC, нам потрібно показати, що AB = AC.

Для цього розглянемо властивості вписаного кола трикутника.

1. Лінії, проведені з вершин трикутника до точок дотику з вписаним колом, є бісектрисами відповідних кутів трикутника. Отже, AI є бісектрисою кута BAC.

2. Бісектриси кутів трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола. Отже, AI, BM і CM перетинаються в одній точці, яка є центром кола I.

3. Точка перетину бісектрис і точка дотику зі сторонами трикутника лежать на одній прямій, що є медіаною трикутника. Тому точка дотику кола I зі стороною BC лежить на медіані AM.

Таким чином, точка дотику кола I зі стороною BC лежить на медіані AM, яка проходить через середину сторони BC. Отже, AM ділить BC навпіл.

З цього випливає, що BM = CM.

Оскільки AM = AM (спільна сторона), і медіана ділиться навпіл, то за теоремою про медіану в рівнобедреному трикутнику, AB = AC.

Таким чином, трикутник ABC є рівнобедреним, оскільки AB = AC.