Question

Сумма двух неравных высот равнобедренного  треугольника равна l, угол при вершине равен α. Найти боковую сторону.

Answer 1

Давайте обозначим равнобедренный треугольник следующим образом:

- Пусть \( AB \) и \( AC \) - боковые стороны треугольника, а \( BC \) - основание. - Пусть \( h_1 \) и \( h_2 \) - высоты, соответствующие боковым сторонам \( AB \) и \( AC \) соответственно. - \( \alpha \) - угол при вершине треугольника.

Согласно условию, \( h_1 \neq h_2 \), и \( h_1 + h_2 = l \). Также, так как треугольник равнобедренный, \( \angle BAC = \alpha \).

Для нахождения боковой стороны \( BC \), нам нужно воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Мы можем воспользоваться тангенсом угла \( \alpha \):

\[ \tan(\alpha) = \frac{h_1}{\frac{BC}{2}} \]

С учетом того, что \( h_1 + h_2 = l \), мы можем выразить \( h_2 \) через \( h_1 \):

\[ h_2 = l - h_1 \]

Теперь мы можем выразить \( \tan(\alpha) \) через \( h_1 \) и \( BC \):

\[ \tan(\alpha) = \frac{h_1}{\frac{BC}{2}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{h_1}{\frac{l - h_1}{2}} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{2h_1}{l - h_1} \]

Теперь решим это уравнение относительно \( h_1 \). Умножим обе стороны на \( (l - h_1) \):

\[ \tan(\alpha) \cdot (l - h_1) = 2h_1 \]

\[ \tan(\alpha) \cdot l - \tan(\alpha) \cdot h_1 = 2h_1 \]

\[ \tan(\alpha) \cdot l = 3h_1 \]

\[ h_1 = \frac{\tan(\alpha) \cdot l}{3} \]

Теперь у нас есть выражение для \( h_1 \). Подставим его в уравнение \( h_1 + h_2 = l \), чтобы найти \( h_2 \):

\[ \frac{\tan(\alpha) \cdot l}{3} + h_2 = l \]

\[ h_2 = l - \frac{\tan(\alpha) \cdot l}{3} \]

Теперь, чтобы найти боковую сторону \( BC \), можем воспользоваться соотношением:

\[ BC = 2 \cdot \frac{h_1}{\tan(\alpha)} \]

\[ BC = 2 \cdot \frac{\frac{\tan(\alpha) \cdot l}{3}}{\tan(\alpha)} \]

\[ BC = \frac{2}{3} \cdot l \]

Таким образом, боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(\frac{2}{3} \cdot l\).