Question

Сторона AC треугольника ABC пересекает окружность в точках M и N ,находящихся от вершины A на расстоянии 9 и 36 соответственно .Окружность имеет точку касания со стороной AB .Косинус угла при вершине A равен √15÷4 .Найдите радиус окружности

Answer 1

Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN.
Обозначим:
- точку касания окружностью стороны АВ точкой К,
- точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е,
- отрезок ОР за х,
- отрезок РЕ за в.
Так как окружность проходит через точки М и К, то МО и КО как радиусы равны.
Из треугольников ОМР и ОКЕ составим уравнение:
$(b+x)*cosA= \sqrt{x^2+13.5^2}$
Возведём в квадрат и получаем квадратное уравнение:
(1 - cos²A)*x²-2bcos²A*x+(13.5²-b²cos²А) = 0.
Значение в находим: в = 22,5*tgA = 22.5*((1-cos²A)/cosA) = 5,809475.
Подставив значения в и cosA, получаем:
0,0625х² - 10,892766х + 150,609375 = 0.
Отсюда х₁ = 15,1421,
              х₂ = 159,142 - этот корень отбрасываем, так как точка К выходит за пределы треугольника АВС.
Тогда радиус равен:
 R=√(13.5² + x²) = √(13.5²+15.1421²) = 20,286281.