Question

Из пластины, имеющей форму правильного треугольника площадью 9*корень из 3, вырезан квадрат, имеющий максимально возможную площадь. Чему равен его периметр?

Answer 1

Здесь нужно еще доказать некие факты , то что как будет располагаться квадрат, в зависимости от этого будет и изменятся площадь самого квадрата.   
Если сделать правильный эскиз по нашему условию , то откуда легко видеть то что квадрат будет наибольшим когда он располагается параллельна основанию треугольника а боковые стороны соответственно перпендикулярны стороне.  
Обозначим $y$ сторону катета образованного боковой стороной квадрата относительно ее основанию, за $x$ сторону квадрата , она же сторона отсеченной боковой стороны треугольника (выше большего основания) . 
  Сторона треугольника правильного $\frac{\sqrt{3}a^2}{4}=9\sqrt{3}\\ a=36\\ a=6$. 
Тогда $x;y$ удовлетворяет ему такое условие  
$2y=6-x$ 
  Тогда  площадь маленького подобного большему треугольнику равна    
 $S=\frac{\sqrt{3}x^2}{4}$ , и остались два маленьких прямоугольных треугольника их площади равны в сумме 
 $S_{1}=yx\\ S_{ABC}>yx+\frac{\sqrt{3}x^2}{4}$ тогда 
откуда получаем систему 
$2y=6-x\\ \frac{\sqrt{3}}{4}*x^2+y*x+x^2=9\sqrt{3}\\\\ \frac{\sqrt{3}x^2}{4}+\frac{6x-x^2}{2}+x^2=9\sqrt{3}\\ \sqrt{3}x^2+12x-2x^2+4x^2=36\sqrt{3}\\ \sqrt{3}x^2+12x+2x^2=36\sqrt{3}\\ x^2(\sqrt{3}+2)+12x-36\sqrt{3}=0\\ D=144+4(\sqrt{3}+2)*36\sqrt{3}\\ x=4\sqrt{27}-18$
 Откуда периметр квадрата равен $P=4(4\sqrt{27}-18)=48\sqrt{3}-72$

Нужно это отдельно доказать пользуясь  другими средствами , так как мы опирались на рисунок