Question

858. В конус вписан шар так, что радиус окружности его касания с конусом равен R. Прямая, проходящая через центр шара и точку, лежащую на окружности касания, образует с плоскостью основания конуса угол α. Найти объём конуса.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Треугольник АВС - осевое сечение конуса. КР - проекция окружности касания шара, ВМ - высота конуса, КЕ=R, ∠КНА=α.
Тр-ники КОЕ и НОМ подобны по трём углам (КР║АН, оба прямоугольные), ∠ЕКО=∠МОН=α.
В тр-ке КО=КЕ/cosα=R/cosα.
КО=МО - радиус шара.
В тр-ке НОМ НО=МО/sinα=R/sinα·cosα.
КН=КО+МО=R·(sinα+1)/(sinα·cosα)=2R(sinα+1)/sin2α.
В тр-ке АКН ∠А=90-α.
АО - биссектриса угла А.
В тр-ке АОМ АМ=МО/tg(45-a/2)=R/(cosα·tg(45-α/2)).
В четырёхугольнике АКОМ противолежащие углы К и М - прямые, прилежащие стороны КО и МО равны, значит он дельтоид, следовательно АМ=АК.
Треугольники АВМ и АКН равны (АМ=АК, ∠А - общий и оба прямоугольные), значит ВМ=КН.
Объём конуса: V=SH/3=π·АМ²·ВМ/3,
V=2π·R³·(sinα+1)/[3sin2α·cos²α·tg²(45-α/2)] - это ответ.