Question

Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром √6. Найдите расстояние от вершины А до плоскости BDC.

Answer 1

Геометрическим способом эта задача просто решается.
В правильном тетраэдре апофема ДЕ боковой грани равна медиане ВЕ основания.
$DE=AD*cos( \frac{60}{2} ) = \sqrt{6} * \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{ \sqrt{18} }{2} = \frac{3 \sqrt{2} }{2} .$
Обозначим высоту ДО.
Отрезок ОЕ равен 1/3 медианы.
OE = (1/3)*(3√2/2) = √2/2.
Высоту ДО находим по Пифагору:
ДО = √(ДЕ²-ОЕ²) = √((18/4) - (2/4)) = √(16/4) = 4/2 = 2.
Ответ: высота тетраэдра равна 2.