Question

Треугольник АВС,в котором угол А=45,АВ=АС(2 под корнем),вписан в окружность радиуса 4,а хорда этой окружности,проходящая через вершину В и центр вписанной в этот треугольник окружности,пересекает сторону АС в точке М.Найдите площадь треугольника АМВ

Answer 1

Для начала я сделаю вид, что не заметил вот это "(2 под корнем)" и найду стороны треугольника по теореме синусов, считая заданным радиус описанной окружности R = 4 и угол при вершине 45 градусов.

2*R*sin(45) = a; (а - основание ВС, b обозначим АВ= АС - боковая сторона; h обозначим AH - это высота к основанию ВС, Н - середина ВС);

a = 4*√2;

Здесь есть неясность. Проще всего вычислить b так

2*R*sin((180 - 45)/2) = 8*cos(45/2); (аргументы тригонометрических ф-ций -  углы в гардусах).

cos(45/2) = x; 2*x^2 - 1 = cos(45) = √2/2; x = √(2 + √2)/2; b = 4*√(2 + √2);

Но если очень надо, я могу вычислить эту величину без "сложной" тригонометрии.

Пусть О1 - центр описанной окружности. Тогда совсем легко увидеть, что угол ВО1Н = 45 градусов. Поэтому О1Н = ВН = а/2 = 2*√2; AH = h = R + O1H = 4 + 2*√2;

Отсюда b = √((a/2)^2 + h^2) =  4*√(2 + √2);

Хорда ВМ является биссектрисой угла В (раз проходит через центр вписанной в АВС окружности), то есть АМ/АС = АВ/(АВ + ВС) = b/(a + b); 

Но АМ/АС = Sabm/Sabc; (это совершенно очевидно, но вот "доказательство", если нужно - пусть h1 - расстояние от В до АС. Тогда Sabc = AC*h1/2; Sabm = AM*h1/2; ну, и поделить одно на другое); 

Sabm = Sabc*b/(a + b);

Теперь вычисление площадей.

Sabc = a*h/2 = 4*√2*(4 + 2*√2)/2 = 8*(√2 + 1);

Sabm = 8*(√2 + 1)*4*√(2 + √2)/(4*√(2 + √2) + 4*√2); много корней....

Можно немного упростить запись, пусть p = √2 + 1; тогда.

Sabm = 4*√2*p(p - √p);