Question

В правильном трехгранной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E - середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE

Answer 1

Такая задача решается двумя способами:

1) - геометрическим,

2) - векторным.

1) Отрезки AD и BE равны между собой, их длина равна:

AD = BE =√(1² + (1/2)²) = √(5/4) = √5/2.

Перенесём отрезок AD точкой D в точку Е.

Получим равнобедренный треугольник ВЕК, где точка К - середина АС, а ВК - высота треугольника основания. ВК = 1*cos 30° = √3/2.

Угол ВЕК и есть искомый угол.

Его косинус равен:

cos BEK = ((√5/2)² + (√5/2)² - (√3/2)²)/(2*(√5/2)*(√5/2)) = (7/4)/(10/4) = 7/10.

∠BEK = arc cos(7/10) = 0,79539883 радиан = 45,572996°.

Answer 2

Пусть А - начало координат .
Ось Х - АС
Ось У - перпендикулярно Х в сторону В
Ось Z -:AA1

Вектора
AD ( 1/4 ; √3/4; 1)
BE ( 1/4 ; -:√3/4;1)

Длина обоих √ (1/16+3/16+1)= √5/2

Косинус искомого угла равен
| AD*BE | / | AD| / | BE | =
( 1/16- 3/16+1 ) / (√5/2)^2=7/10
Угол arccos(0.7)