Question

Вершины пирамиды находятся в точках A,B,C,D . Вычислить: а) площадь указанной грани; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и указанные вершины пирамиды; в) объем пирамиды .

Answer 1

А) Сторона АС=√[(Xc-Xa)²+(Yc-Ya)²+(Zc-Za)²]; АС=√(8²+5²+2²)=√93
Сторона AD=√[(Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²+(Zd-Za)²]; АD=√(13²+1²+8²)=√234
Сторона CD=√[(Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²+(Zd-Zc)²]; АС=√(5²+4²+6²)=√77.
Sacd можно посчитать по Герону: (для  любителей работать с корнями).
Но площадь треугольника, построенного на векторах AC и AD равна половине векторного произведения этих векторов:
              | i        j       k |
ACxAD=|Xac Yac Zac| =i(Yac*Zad-Zac*Yad)-j(Xac*Zad-Zac*Xad)+k(XacYad-
              |Xad Yad Zad|                                                 - Yac*Xad)  или
ACxAD={40-2;64-26;8-65}={38;38;-57}.
Sacd=(1/2)*√(38²+38²+57²)≈ 39,1695≈39,2
б) Середина вектора ВС: М(2;3;2) - координаты равны половинам сумм соответствующих координат начала и конца вектора).
Вектор МА{-7;-6;-6}, вектор MD{6;-5;2} - координаты равны разности соответствующих координат конца и начала вектора).
Площадь треугольника AMD, построенного на векторах MD и MA равна половине векторного произведения этих векторов:
               | i           j       k |
MDxMA=|Xmd Ymd Zmd| =i(Ymd*Zma-Zmd*Yma)-j(Xmd*Zma-Zmd*Xma)+
               |Xma Yma Zma|                 +k(XmdYma-Ymd*Xma)  или
MDxMA={30+12;-36+14;-36-35}={42;-22;-71}.
Samd=(1/2)*√(42²+22²+71²)≈ 42,6878 ≈ 42,3.
в) Объем пирамиды равен V=(1/3)*Sacd*h, где h - расстояние от точки B до плоскости ACD.
Уравнение плоскости ACD по формуле:
|X-Xa Xc-Xa Xd-Xa|
|Y-Ya Yc-Ya Yd-Ya| = 0.
|Z-Za Zc-Za Zd-Za|
Для нашего случая:
|X+5 8 13|
|Y+3 5  1| = 0.
|Z+4 2  8|
Решаем определитель:
(X+5)(40-2)-(Y+3)(64-26)+(Z+4)(8-65) = 38X-38Y-57Z-152=0.
Это уравнение в общем виде с коэффициентами
А=38, В=-38, С=-57, D=-152.
Расстояние от точки В до этой плоскости определяется по формуле:
d = |A*Xb+B*Yb+C*Zb+D|/√(A²+B²+C²). Для нашего случая:
d = |38-152+104-152)/√(38²+38²+57²)=|-162|/~78,4 ≈ 2.
Тогда V=(1/3)*39,2*2=21,6 ед³.