Question

Основание прямого параллелепипеда-ромб с периметром 40 см. Одна из диагоналей ромба 12 см. Найдите объем параллелепипеда, если его диагональ равна 20 см

Answer 1

V = Sосн* h

1) Найдем S осн.  Основание АBCD - ромб, периметр которого  40 см  =>  сторона ромба a равна 40 : 4 = 10 см.  Одна из диагоналей ромба равна 12 см, и диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит если обозначить пересечение диагоналей  т.О, то получим четыре равных прямоугольных треугольника.  Рассмортим один  из них -   АОВ.  В  нем  гипотенуза равна a = 10 см, а один из катетов, например,  АО =  12:2 = 6 см.  Найдем  по т. Пифагора другой катет  ВО = √(10² - 6²)  = √(100 - 36) = √64 = 8 см.

  Тогда площадь треугольника АОВ  равна S(АОВ)  = АО*ВО /2 = 6*8 /2 = 24 см²,

  а площадь всего основания прямого параллелепипеда

S осн  =  4* S(АОВ)  = 4*24 = 96 см².

 

2) Найдем высоту  h  прямого параллелепипеда. 

  По условию нам известна его диагональ  d = 20 см.

  Т.к.  в  основании прямого параллелепипеда лежит ромб, то это может быть как большая, так и меньшая диагональ.

Пусть она соответсвует диагонали ромба 12 см,  тогда высота параллелепипеда будет равна:  h = √(20² - 12²)  =√(400 - 144)  =  √256  = 16

   и   V = Sосн * h  = 96 * 16 =  1536 см³

Если же она соответсвует диагонали ромба 16 см,  тогда высота параллелепипеда будет равна:  h = √(20² - 16²)  =√(400 - 256)  =  √144  = 12

   и   V = Sосн * h  = 96 * 12 =  1152 см³

Ответ:  1152 см³   или  1536 см³