Question

В треугольник,углы которого относятся как 1:2:6,вписана окружность.Найдите углы между радиусами,проведёнными в точки касания найдите радиус окружности, вписанной в равнбедренный треугольник с основанием 12 см и периметров 32 см в равнобедренной трапеции MNPK диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите радиус окружности, писанной около трапеции, если диагональ ранва 12 см а боковая сторона 9 см

Answer 1

$1)$

Пусть дан Δ $ABC$ , в который вписана окружность $w (O;R)$

$\ \textless \ A=2x$

$\ \textless \ B=x$

$\ \textless \ C=6x$

Сумма всех углов треугольника равна 180°, т. е.

$\ \textless \ A+\ \textless \ B+\ \textless \ C=180^\circ$

$2x+x+6x=180$

$9x=180$

$x=20^\circ$ - $\ \textless \ B$

$2*20=40^\circ$ - $\ \textless \ A$

$6*20=120^\circ$ - $\ \textless \ C$

$OK$ ⊥ $AB$

$OL$ ⊥ $CB$

$OM$ ⊥ $AC$

из  четырехугольника $AMOK$ 

$\ \textless \ KAM+\ \textless \ AMO+\ \textless \ MOK+\ \textless \ OKA=360^\circ$

$40^\circ +90^\circ +\ \textless \ MOK+90^\circ =360^\circ$

$\ \textless \ MOK+220^\circ =360^\circ$

$\ \textless \ MOK =140^\circ$

Из четырехугольника $MCLO$

$\ \textless \ OMC+\ \textless \ MCL+\ \textless \ CLO+\ \textless \ LOM=360^\circ$

$90^\circ +120^\circ +90^\circ+\ \textless \ LOM =360^\circ$

$\ \textless \ LOM+300^\circ =360^\circ$

$\ \textless \ LOM=60^\circ$

из четырехугольника $LOKB$

$\ \textless \ OLB+\ \textless \ LBK+\ \textless \ BKO+\ \textless \ KOB=360^\circ$

$90^\circ +20^\circ +90^\circ+\ \textless \ KOL =360^\circ$

$200^\circ+\ \textless \ KOL =360^\circ$

$\ \textless \ KOL =160^\circ$

Ответ: $60^\circ ;$  $140^\circ ;$  $160^\circ$

$2)$
Δ $ABC-$ равнобедренный,  значит $AB=BC$

$AC=12$ см

$P_{ABC}=32$ см

$P_{ABC} =AB+BC+AC$ , так как $AB=BC$, то 

$P_{ABC}=2AB+AC$

$2AB+12=32$

$2AB=20$

$AB=10$ (см) 

$r= \frac{S}{p}$ , где $p= \frac{a+b+c}{2}$ или $p= \frac{P}{2}$

$p= \frac{32}{2} =16$

$S_{ABC}= \frac{1}{2}*AC*BM$

$BM$ ⊥ $AC$  и $AM=MC=6$

Δ $BMA$ -  прямоугольный

по теореме Пифагора найдем 

$BM= \sqrt{AB^2-AM^2}= \sqrt{10^2-6^2}= \sqrt{64}=8$ (см)

$S_{ABC= \frac{1}{2} } *12*8=48$ (см²)

$r= \frac{48}{16}=3$ (см)

Ответ: $3$ см

$3)$
$MNPK-$ равнобедренная трапеция, около которой описана окружность $w(O;R)$

$MP=12$ см

$PK=9$ см

$MP$ ⊥ $PK$ ( по условию)

значит Δ $MPK -$ прямоугольный

по теореме Пифагора найдём 

$MK= \sqrt{MP^2+PK^2}= \sqrt{12^2+9^2}= \sqrt{144+81}= \sqrt{225}=15$ см

$\ \textless \ MPK -$ вписанный угол и $\ \textless \ MPK=90^\circ$ , значит опирается на диаметр окружности

$MK=D$

$D=2R$

$2R=15$

$R=7.5$

Ответ: $7.5$ см