Question

Найдите площадь треугольника АВС, если АС=20, ВС=2 корня из 97, а медиана ВМ равна 12.

Answer 1

Из свойств медианы треугольника, имеем

Mb=(1/2)*sqrt(2*(a^2+c^2)-b^2)

в нашем случае

a=2*sqrt(97)

b=20

Mb=12

тогда

12=(1/2)*sqrt(2*(388+c^2)-400)

24=sqrt(2*(388+c^2)-400)

24=sqrt(376+2c^2

576=376*2c^2

200=2c^2

c^2=100 =>c=10

 

Площадь треугольника находим по формуле Герона

 

S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c),

где

p=(a+b+c)/2

 

p=(10+20+2sqrt(97))/2=15+sqrt(97)

 

S=sqrt((15+sqrt(97))*(15+sqrt(97)-sqrt(97))*(15+sqrt(97)-10)*(15+sqrt(97)-20))=sqrt(15+sqrt(97))*15*(5+sqrt(97)*sqrt(97)-5))=

=sqrt(15*(15+sqrt(97))*(97-25))=sqrt(15*72*(15+sqrt(97))=sqrt(1080*(15+sqrt(97))