Question

В правильной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро в 2 раза больше стороны основания.Найдите угол между плоскостями SAF и SFD

Answer 1

Эту задачу можно решать двумя способами:
- 1) геометрическим,
- 2) векторным.

-1) Угол между плоскостями SAF и SFD равен плоскому углу между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в одну точку на этой линии.
Рассмотрим грань SAF - равнобедренный треугольник со сторонами 1 и две по 2.
cos F = (1/2)/2 = 1/4. sin F = √(1-(1/4)²) = √(15/16) = √15/4.
Проведём высоту AA1 из точки А на ребро SF.
Она равна AF*sin F = 1*(√15/4) = √15/4 ≈ 0,968246.
Отрезок FA1 = AF*cos F = 1*(1/4) = 0,25.
Из точки А1 восстановим перпендикуляр A1K до пересечения со стороной основания FE. 
Теперь рассмотрим треугольник SFD и основание ABCDEF.
Треугольник ADF - прямоугольный (AD - диаметр описанной окружности), угол DAF = 60°. DF = AF*tg60° = 1*√3 = √3.
Косинус угла SFD = ((√3/2)/2) = √3/4.
Отрезок FK = FA1/cos (SFD) = (1/4)/(√3/4) = 1/√3 ≈ 0,5773503.
A1K = FK*sin(SFD) = (1/√3)*√(1-(√3/4)²) = (1/√3)*√(13/16) =√39/12 ≈ 0,5204165.
Находим гипотенузу АК:
 АК = √(1²+(1/√3)²) = √(1+(1/3)) =√(4/3) = 2/√3 ≈ 1,1547005.

Получили треугольник в перпендикулярной плоскости к ребру SF.
Угол АА1К и будет углом между заданными плоскостями SAF и SFD.
cos(AA1K) = ((AA1)²+(A1K)²-(AK)²/(2*(AA1)*(AK)) =
= ((15/16)+( 39/144)-(4/3))/(2*(√15/4)*(√39/12)) ≈ -0.1240345599.
Угол равен 97,125016°.