Question

Точка О лежит внутри треугольника ABC. Отрезок OP(P э AC) параллелен стороне BC. Треугольник ABC разделили на части. Вычислите длину радиуса окружности,описанной около треугольника AOP, если известно, что AO = 4см, угол ACB = 60градусов

Answer 1

OP||BC => ∠APO=∠ACB=60° (соответственные углы при параллельных)

D - центр окружности, описанной около △AOP. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. AH=OH=2 см, DH⊥AO.

Центральный угол ADO и вписанный угол APO опираются на хорду AO, следовательно ADO вдвое больше APO. DH - биссектриса ADO (AD=OD - радиусы, △ADO - равнобедренный, DH - медиана и высота, следовательно и биссектриса). ∠ODH= ∠ADO/2 =∠APO =60°.

Треугольник ODH - прямоугольный с углом 60°. Катет против угла 60° равен с√3/2, с - гипотенуза (формула высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника).

OD =2/√3 *OH =4√3/3 (см)  ~2,3 см

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой синусов.

Из условия задачи известно:

ao = 4 см (длина отрезка ao) угол acb = 60 градусов

Нам необходимо найти радиус окружности, описанной около треугольника aop.

Сначала найдем длину отрезка ac.

Так как треугольник abc является прямоугольным, в нем применима теорема Пифагора:

ab^2 = ac^2 + bc^2

Обозначим длину отрезка bc как x. Тогда имеем:

ac^2 = ab^2 - bc^2 ac^2 = (4см)^2 - x^2

ac^2 = 16см^2 - x^2

Теперь найдем длину отрезка ap.

Так как отрезок op параллелен стороне bc, то треугольники aop и abc подобны. Значит, отношение соответствующих сторон будет одинаковым:

ap / ab = op / ac

Заменим известные значения:

ap / 4см = x / ac ap = 4см * x / ac (1)

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

ap / sin(a) = ac / sin(b)

где a - угол aop, b - угол acb.

Заменим известные значения:

ap / sin(a) = ac / sin(60градусов)

Так как ap = 4см * x / ac (из уравнения (1)), подставим его в уравнение:

(4см * x / ac) / sin(a) = ac / sin(60градусов)

Упростим уравнение:

4см * x / (ac * sin(a)) = 1 / (2sin(60градусов))

Сократим 2sin(60градусов):

4см * x / (ac * sin(a)) = 1 / (2 * √3 / 2) 4см * x / (ac * sin(a)) = 2 / √3

Распишем sin(a) через длины сторон треугольника aop:

sin(a) = ap / ao sin(a) = (4см * x / ac) / 4см sin(a) = x / ac

Подставим значение sin(a) в уравнение:

4см * x / (ac * (x / ac)) = 2 / √3

Упростим уравнение:

4 * x = 2 * ac / √3 x = ac * √3 / 6

Мы нашли длину отрезка bc (x). Теперь найдем длину отрезка ac:

ac^2 = 16 - (ac * √3 / 6)^2

Упростим уравнение:

ac^2 = 16 - (3 * ac^2 / 36)

Перенесем ac^2 в левую часть уравнения:

ac^2 - 3 * ac^2 / 36 = 16

28 * ac^2 / 36 = 16

Упростим уравнение:

7 * ac^2 / 9 = 16 ac^2 / 9 = 16 / 7 ac^2 = (16 * 9) / 7 ac^2 = 144 / 7 ac = √(144 / 7)

Теперь можем найти радиус окружности, описанной около треугольника aop.

Радиус окружности равен половине длины стороны aop (ap):

Радиус окружности = (4см * x / ac) / 2 Радиус окружности = (4см * (ac * √3 / 6) / √(144 / 7)) / 2

Радиус окружности = (2см * √3 * √(144 / 7)) / 6

Радиус окружности = (√3 * √(144 / 7)) / 3 см

Теперь можем примерно приблизить значение радиуса окружности, используя калькулятор:

Радиус окружности ≈ 7.73 см

Таким образом, длина радиуса окружности, описанной около треугольника aop, примерно равна 7.73 см.