Question

Доведіть,що всі сторони чотирикутника АВСД лежать в одній площині якщо перетинаються продовження протилежних сторін цього чотирикутника

Answer 1

Что? Можно написать на русском?

Answer 2

Для того чтобы доказать, что все стороны четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, мы можем использовать следующий подход.

Перетинання продовжень протилежних сторін створює дві прямі, на яких лежать точки перетину. Пусть точка перетину протилежних сторін АВ і СД обозначается как Е, а точка перетину протилежних сторін АС и ВД обозначается как F.

Так как мы имеем дело с плоскими фигурами, пересечение двух прямых относительно горизонтали или вертикали будет находиться в одной плоскости. Давайте рассмотрим плоскость, которая проходит через точки А, В и F.

Чтобы доказать, что все точки четырехугольника АВСД лежат в этой плоскости, нам нужно показать, что точка С также лежит на этой плоскости.

Пусть Г будет серединой отрезка EF. Так как АВ и СД пересекаются в точке Е, линия ГЕ будет секущей для этих двух отрезков. Также линия ГЕ будет биссектрисой угла ВĈÉ, так как она проходит через точку Г, которая является серединой отрезка ФЄ, и угол ВĈЕ является вертикальным углом в этой фигуре. Аналогично, линия ГF будет биссектрисой угла АĎЕ.

Так как линии ГЕ и ГF являются биссектрисами углов ВĈÉ и АĎЕ соответственно, они также будут перпендикулярными друг другу. Из этого следует, что плоскость, проходящая через точки А, В и F, будет перпендикулярна к линии ГЕ.

Поскольку линии ГЕ и ГF являются биссектрисами углов ВĈÉ и АĎЕ, плоскость, проходящая через точки А, В и F, будет содержать их биссектрисы. Из этого следует, что точка С, пересекаясь с биссектрисой угла ВĈÉ, также будет лежать в этой плоскости.

Следовательно, все точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, так как все линии и плоскости, проходящие через их параллельные стороны и точки пересечения, лежат в одной плоскости.