Question

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60 градусов. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Апофема -это высота боковой грани является в нашем случае высотой пирамиды. Нам известен угол между боковой стороной и основанием
 можем найти середину основания(которая является радиусом описанной вокруг него окружности)
R=4*cos60=4/2=2
так как нам известен радиус описанной окружности значит найдем сторону треугольника
R=a√3  ⇒ a= 2/√3
сторону основания нашли, найдем тогда и его площадь
S=a*a*sin 60  /2 
S= 4/3  * √3/2  /2 =√3 / 3
V=S*h/3= √3/3 *  4/3 =4√3/9

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой объема треугольной пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h, \]

где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

Для начала, найдем площадь основания. Поскольку у нас треугольная пирамида, ее основание - равнобедренный прямоугольный треугольник. Площадь такого треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]

где \( a \) и \( b \) - катеты треугольника. В нашем случае, угол при основании равен 60 градусам, что делает треугольник равносторонним. Таким образом, \( a = b \), и площадь основания будет равна:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}. \]

Теперь, у нас есть информация о площади основания. Мы также знаем, что апофема (радиус вписанной в треугольник окружности) равна 4 см.

Для равностороннего треугольника апофему можно выразить через длину стороны треугольника (\( a \)) и высоту (\( h \)) по формуле:

\[ r = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}, \]

где \( r \) - радиус вписанной окружности.

В нашем случае \( r = 4 \) см, поэтому:

\[ 4 = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}. \]

Решив это уравнение, мы найдем значение стороны \( a \):

\[ a = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Теперь мы можем найти площадь основания:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{8}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{32}{3} \, \text{см}^2. \]

Теперь у нас есть и площадь основания, и мы можем найти высоту пирамиды. Зная апофему, высоту и половину основания можно связать следующим образом:

\[ h = \sqrt{a^2 - r^2} \]

Подставим известные значения:

\[ h = \sqrt{\left( \frac{8}{\sqrt{3}} \right)^2 - 4^2} = \sqrt{\frac{64}{3} - 16} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

Теперь мы можем использовать формулу объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{32}{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \]

Упростим выражение:

\[ V = \frac{32}{\sqrt{3}} \]

Таким образом, объем треугольной пирамиды равен \( \frac{32}{\sqrt{3}} \) кубических сантиметра.