Question

В треугольнике ABC провели биссектрису CK, а в треугольнике BCK - биссектрису KL. прямые AC и KL пересекаются в точке M. извесно, что ∠BAC > ∠BCA. докажите, что AK + KC > AM.

Answer 1

1) На продолжении СК за точку К возьмем точку Е так, что KE=AK, т.е. AK+KC=CE.
2) Т.к. KL - биссектриса ∠CKB и углы AKC и EKB вертикальные, то ∠AKM=∠EKM и соответственно треугольники AKM и EKM равны по 1-му признаку. Значит, AM=ME.
3) ∠CME=180°-∠MCE-∠MEC=180°-∠C/2-(180°-∠A)=∠A-∠C/2. Т.к. по условию ∠A-∠C/2>∠C/2, то ∠CME>∠MCE и значит СE>ME (т.к. в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона), т.е. в силу 1) и 2) получаем AK+KC>AM.

Answer 2

Для доказательства того, что \(AK + KC > AM\), давайте рассмотрим треугольники в задаче и воспользуемся некоторыми свойствами биссектрис.

Обозначим:

- \(∠BAC = \alpha\) - \(∠BCA = \beta\)

Также, известно, что \(∠BAC > ∠BCA\), следовательно, \(\alpha > \beta\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\) и биссектрису \(CK\). По свойству биссектрисы, отношение длины отрезка \(BK\) к длине отрезка \(BC\) равно отношению длины отрезка \(CK\) к длине отрезка \(AC\). Таким образом, мы можем записать:

\[\frac{BK}{BC} = \frac{CK}{AC}\]

Теперь рассмотрим треугольник \(BCK\) и биссектрису \(KL\). Аналогично, по свойству биссектрисы, отношение длины отрезка \(BL\) к длине отрезка \(BC\) равно отношению длины отрезка \(KL\) к длине отрезка \(KC\):

\[\frac{BL}{BC} = \frac{KL}{KC}\]

Теперь объединим эти два уравнения. Перепишем первое уравнение, умножив обе стороны на \(\frac{AC}{CK}\):

\[\frac{BK}{BC} \cdot \frac{AC}{CK} = 1\]

Теперь умножим обе стороны второго уравнения на \(\frac{BC}{KL}\):

\[\frac{BL}{BC} \cdot \frac{BC}{KL} = \frac{BL}{KL}\]

Теперь объединим эти два уравнения:

\[\frac{BK}{CK} = \frac{BL}{KL} \cdot \frac{AC}{BC}\]

Теперь рассмотрим треугольник \(AKC\). Из неравенства треугольника следует, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Применяя это к треугольнику \(AKC\), получаем:

\[AK + KC > AC\]

Теперь умножим обе стороны этого неравенства на \(\frac{BK}{CK}\):

\[\frac{BK}{CK} \cdot (AK + KC) > \frac{BK}{CK} \cdot AC\]

Теперь используем то, что мы получили ранее (\(\frac{BK}{CK} = \frac{BL}{KL} \cdot \frac{AC}{BC}\)):

\[\frac{BL}{KL} \cdot \frac{AC}{BC} \cdot (AK + KC) > \frac{BL}{KL} \cdot AC\]

Сокращаем общие члены:

\[AK + KC > KL\]

Теперь вернемся к точке \(M\), где прямые \(AC\) и \(KL\) пересекаются. Поскольку \(AK + KC > KL\), то также \(AK + KC > AM\). Таким образом, доказано, что \(AK + KC > AM\).