Question

Периметр правильного треугольника 36√3, а расстояние от точки М до каждой из сторон треугольника 10 см. Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Answer 1

Несколько рисунков для того, чтобы было легче разобраться. Идея здесь проста. Найти высоту треугольника основания, из нее выразить ОТ, и потом из прямоугольного треугольника найти расстояние от точки до плоскости.

Answer 2

Пусть треугольник ABC - правильный треугольник со стороной a и точкой M внутри него. Заметим, что треугольник MBC также является правильным треугольником со стороной a и таким образом разделяет треугольник ABC на 3 равных куска.

Периметр треугольника ABC равен 36√3. Так как треугольник ABC - правильный треугольник, то каждая его сторона равна a. Поэтому a + a + a = 36√3, или 3a = 36√3, или a = 12√3.

Мы знаем, что расстояние от точки M до каждой стороны треугольника равно 10 см. Это расстояние является высотой треугольника MBC. Раз треугольник MBC также является правильным треугольником, то этот треугольник - равносторонний. Это означает, что каждая его сторона равна a = 12√3.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти расстояние от точки M до плоскости треугольника ABC. Пусть D - точка на стороне BC треугольника ABC, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M. Тогда MD^2 = MC^2 - CD^2.

MC = BC/2 = 12√3/2 = 6√3. CD = a/2 = 12√3/2 = 6√3.

Теперь мы можем вычислить MD^2 = (6√3)^2 - (6√3)^2 = 108 - 108 = 0.

Из этого мы видим, что MD = 0. Это означает, что точка M находится в плоскости треугольника ABC.

Таким образом, расстояние от точки M до плоскости треугольника ABC равно 0.