Question

B кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CB1D1 .

Answer 1

Vtvtfibidgi уии
кмемапнпупоии

Answer 2

Для начала, построим модель куба ABCDA1B1C1D1.

B1_____________C1 / | / | / | / | / | / | /_______|______/ | A1 | D1 | | | | | | | | | | | | | |_______|______| A | D | | | | | | |________|______| C | B

Обозначим векторами следующие стороны куба: AB = a BC = b CD = c AD = d AA1 = a1 BB1 = b1 CC1 = c1 DD1 = d1

Также обратим внимание, что плоскость ABC - вертикальная плоскость, а плоскость CB1D1 - горизонтальная плоскость.

Пусть вектором n1 задана нормаль плоскости ABC, а вектором n2 - нормаль плоскости CB1D1.

Тангенс угла между плоскостями ABC и CB1D1 можно вычислить по следующей формуле: tg(α) = |n1 · n2| / (|n1| · |n2|),

где · - скалярное произведение векторов, |n1| - длина вектора n1, а |n2| - длина вектора n2.

Рассмотрим плоскость ABC. Чтобы найти вектор нормали n1, будем рассматривать два вектора, лежащих в этой плоскости, например AB и AC.

Векторное произведение этих векторов позволяет нам найти нормаль плоскости ABC:

n1 = AB x AC.

Выполним вычисления: AB = b - a = (b1 - b, c1 - c, d1 - d), AC = c - a = (c1 - b, d1 - c, a1 - d).

Пользуясь определением векторного произведения, вычислим вектор нормали n1: n1 = AB x AC = ((c1 - c)(a1 - d) - (d1 - d)(d1 - c), (d1 - c)(b1 - b) - (a1 - d)(c1 - b), (a1 - d)(d1 - c) - (b1 - b)(c1 - c)).

Аналогичным образом, найдем вектор нормали n2 для плоскости CB1D1. Для этого рассмотрим два вектора в этой плоскости, например CB1 и CD1:

CB1 = b - c = (b1 - c1, c1 - d1, d1 - a1), CD1 = d - c = (d1 - c1, a1 - d1, b1 - a1).

Вычислим: n2 = CB1 x CD1 = ((c1 - d1)(b1 - a1) - (d1 - a1)(a1 - d1), (a1 - d1)(c1 - d1) - (b1 - a1)(d1 - c1), (b1 - a1)(d1 - c1) - (c1 - d1)(a1 - d1)).

Теперь у нас есть векторы нормалей n1 и n2.

Вычислим длины векторов |n1| и |n2|, используя формулу: |n1| = sqrt((n1[0])^2 + (n1[1])^2 + (n1[2])^2), |n2| = sqrt((n2[0])^2 + (n2[1])^2 + (n2[2])^2).

Подставим найденные значения в формулу для тангенса угла α:

tg(α) = |n1 · n2| / (|n1| · |n2|).

Вычислим значение этого выражения, и полученный результат будет являться тангенсом угла между плоскостями ABC и CB1D1.