Question

Докажите что если диагонали ромба ровны то он является квадратом

Answer 1

Диагонали ромба перпендикулярны друг другу => делят ромб на прямоугольные треугольники, у которых катеты - половины диагоналей ромба. ... Диагональ ромба делит угол пополам => все углы ромба 45*2 = 90 град. => этот ромб - прямоугольник.

Answer 2

Давайте рассмотрим ромб с равными диагоналями. Пусть ABCD - ромб, где AC и BD - диагонали, причем AC = BD.

Рассмотрим треугольники ABC и ACD. У них общая сторона AC и равные углы при вершине A (так как углы ромба равны). Поэтому по признаку равенства треугольников ABC и ACD сами треугольники ABC и ACD равны.

Таким образом, BC = CD. Ромб имеет все стороны равными, следовательно, BC = CD = AD = AB. Таким образом, все четыре стороны ромба равны.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и BCD. У них две равные стороны (AB = BC и BD = CD) и угол между этими сторонами при вершине B (так как углы ромба равны). По признаку равенства треугольников ABD и BCD сами треугольники ABD и BCD равны.

Из этого следует, что угол ABD равен углу CBD. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол ABD + угол CBD = 180 градусов. Но углы ABD и CBD равны, поэтому каждый из них равен половине этой суммы.

Таким образом, углы ABD и CBD равны 90 градусам каждый. Это значит, что ромб ABCD обладает прямыми углами.

Теперь мы имеем ромб с равными сторонами и прямыми углами. Такой четырехугольник называется квадратом. Таким образом, если диагонали ромба равны, то он является квадратом.