Question

В прямоугольнике ABCD AD:AB=5:3. На сторонах AB, BC, CD и DA выбраны точки E, F, M, P соответственно так, что AP:PD=2:3, EFMP - ромб. Найдите отношение площадей прямоугольника и ромба.

Answer 1

Из соображений симметрии FC=AP=2 и AE=CM=x (неизвестная длина)

Ромб - четырехугольник, у которого все стороны равны:

PE=EF=FM=MP (гипотенузы треугольников PAE, EBF, FCM, MDP)

По теореме Пифагора

2^2+x^2=(3-x)^2+3^2

4+x^2=9-6x+x^2+9

6x=14

x=7/3

Нашли все отрезки:

AE=CM=7/3

EB=MD=2/3

 

Далее находим сумму площадей всех треугольников PAE, EBF, FCM, MDP

St=(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)+(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)=7/3+1+7/3+1=20/3

Площадь прямоугольника S=5*3=15

Площадь ромба s=S-St=15-20/3=25/3

 

Отношение площадей прямоугольника и ромба

S/s=15/(25/3)=9/5

 

Ответ: отношение площадей прямоугольника и ромба = 9/5

 

 

Answer 2

Пусть сторона прямоугольника AB равна 5x, а сторона AD равна 3x.

Так как сторона EFMP ромба равна стороне AD прямоугольника, то EFMP тоже является прямоугольником со сторонами 3x и 5x. Также известно, что AP:PD = 2:3. Пусть AP = 2k и PD = 3k.

Теперь рассмотрим прямоугольники AEPD и EPFM. Они имеют одинаковую высоту, так как точки E и M лежат на одной горизонтальной линии. Высота равна стороне EP ромба.

Так как AP:PD = 2:3 и AP = 2k, то PD = 3k. Значит, отношение высот прямоугольников AEPD и EPFM равно 3:2.

Отношение площадей двух прямоугольников равно отношению их сторон. Площадь прямоугольника AEPD равна (5x) * (3k) = 15kx, а площадь прямоугольника EPFM равна (3x) * (2k) = 6kx.

Таким образом, отношение площадей прямоугольника и ромба равно 15kx:6kx = 15:6 = 5:2.