Question

Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит угол, образованный высотой и медианой из этого угла, пополам. Дерзайте!

Answer 1

Пусть в ΔΔABC угол ABC прямой, BD — высота, BE — биссектриса и BF — медиана.
Так как BF = FC, то ∠CBF = ∠AСВ. Но

∠ABD = π/2 — ∠BAD = ∠ACB.

Следовательно, ∠ABD = ∠CBP и

∠DBE = ∠ABE — ∠ABD = ∠CBE — ∠CBF = ∠FBE,

что и требовалось доказать.

Answer 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B прямой, а стороны обозначены как a, b и c (гипотенуза). Пусть AD - высота, проведенная из вершины угла B, а AM - медиана, проведенная из вершины угла B. Также пусть BE - биссектриса угла B. Мы хотим доказать, что угол ABE равен углу CBE.

Так как треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ a^2 = b^2 + c^2 \]

Теперь рассмотрим угол ABE и угол CBE:

1. Угол ABE: \[ \tan(\angle ABE) = \frac{AD}{BE} \]

2. Угол CBE: \[ \tan(\angle CBE) = \frac{AD}{BC} \]

Так как BC - гипотенуза, то можно записать:

\[ \tan(\angle CBE) = \frac{AD}{c} \]

Сравнивая выражения для углов ABE и CBE, мы видим, что:

\[ \tan(\angle ABE) = \tan(\angle CBE) \]

Из этого следует, что угол ABE равен углу CBE (поскольку тангенс одинаковый). Таким образом, биссектриса угла B действительно делит угол, образованный высотой и медианой из этого угла, пополам.