Question

Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить висоту проведену до основи на відрізки довжиною 6см і 10см.Знайдіть сторони трикутника.

Answer 1

Обозначим боковые стороны треугольника х, а основание 2у.
Тангенс половины угла α при основании равен 6/у, а всего угла - 16/у.
Используем формулу двойного угла: tg (2α) = (2tg α)/(1 - tg²α).
Подставим значения тангенсов:
(2*(6/у))/(1 - (36/у²)) = 16/у.
Сократим числители на 4 и получим 3у² = 4у² - 4*36.
Получаем у² = 4*36.
Отсюда у = 2*6 = 12 см.
Найдено основание - оно равно 2*12 = 24 см.
Боковые стороны равны √(12² + 16²) = √(144 + 256) = √400 = 20 см.

Answer 2

Позначимо основу рівнобедреного трикутника як AB, де AB = AC. Нехай BD - бісектриса кута BAC, а DE - висота, проведена до основи. Оскільки BD є бісектрисою, то AD = DC.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ADB маємо: AB^2 = AD^2 + BD^2.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику CDE маємо: CE^2 = CD^2 + DE^2.

Оскільки AD = DC, то AB^2 = AD^2 + BD^2 = DC^2 + BD^2.

За властивістю бісектрис, DB/CE = AD/AC. Оскільки AD = DC і AB = AC, то DB/CE = 1.

Оскільки DE є висотою, то DB/CE = BD/CE = BE/CE.

Припустимо, що BE = x та CE = y.

Тоді Db = x/y*6, BE = x, CE = y, а CE = 10 - y.

Звести к спільному знаменнику:

x/y*6 = x, y*10 - y = 6x.

Далі, з другого рівняння знайдемо y:

10y - y^2 = 6x, y^2 - 10y + 6x = 0.

Щоб знайти x та y, розв’яжемо це квадратне рівняння. Знайдемо дискримінант:

D = (-10)^2 - 4*1*6x.

Дискримінант D має бути не меншим за нуль, тому:

(-10)^2 - 4*1*6x >= 0, 100 - 24x >= 0, 24x <= 100, x <= 100/24.

Таким чином, можна знайти допустимий інтервал для х.

Далі, підставимо значення x у друге рівняння:

y^2 - 10y + 6(100/24) = 0.

Знайдемо корені цього рівняння і запишемо їх у відповідь. Та корені цього рівняння визначать довжини сторін трикутника AB та AC.