Question

В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна основаниям AD и BC, сумма острых углов A и С равно 90. Найдите длину большей диагонали трапеции, если основание AD=2, DC=5.

Answer 1

Диагональ ВD делит трапецию на два прямоугольных треугоьника АВD и ВDС.
Так как сумма углов ВАD и ВСD равна 90°. и в то же время сумма острых углов этих треугольников также равна 90°, то угол АВD=ВСD,
значит, и ∠ВDС=∠ВАD. 
Треугольники АВD и ВDС подобны. 
Из их подобия 
АD:ВD=ВD:ВС
ВДD²=2 ВС
Из треугольника ВСD по т. Пифагора 
ВС²=СD²-ВС²
Но ВD²=2ВС
Произведя в уравнении замену, получим:
2 ВС=СD²-ВС² ⇒
ВС²+2ВС-25=0
Решим квадратное уравнение.
D=b²-4ac=2²-4·1·(-25)=104
ВС₁=(-2+2√26):2=√26-1≈  4,099
Второй корень отрицательный и не подходит. 
По т.Пифагора найдем  ВD.
ВD²=2ВС=8,198
Из С параллельно ВD опустим отрезок С до пересечения с продолжением АD в точке Н. 
В прямоугольном треугольнике АСН гипотенуза
АН=АD+DН 
DН=ВС=4,099
СН²=ВD²= 8,198
АС²=АН²+СН²=(2+4,099)²+8,198
АС²≈45,3958
АС≈6,7376
----
[email protected]

Answer 2

Обозначим точки и данные задачи:

- \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) - вершины трапеции, - \(AD = 2\) - длина основания \(AD\), - \(DC = 5\) - длина основания \(DC\), - \(BD\) - меньшая диагональ трапеции, - \(AC\) - большая диагональ трапеции, - Угол \(A\) - острый угол при вершине \(A\), - Угол \(C\) - острый угол при вершине \(C\).

Согласно условию задачи, меньшая диагональ \(BD\) перпендикулярна основаниям \(AD\) и \(BC\), и сумма острых углов \(A\) и \(C\) равна 90 градусов.

Рассмотрим треугольник \(ABD\). Угол \(A\) - острый угол. Также, угол \(DAB\) прямой, так как \(BD\) перпендикулярна \(AD\). Следовательно, угол \(B\) - тупой угол.

Рассмотрим треугольник \(BCD\). Угол \(C\) - острый угол. Также, угол \(CDB\) прямой, так как \(BD\) перпендикулярна \(BC\). Следовательно, угол \(B\) - тупой угол.

Таким образом, у нас есть два треугольника \(ABD\) и \(BCD\), в которых угол \(B\) является тупым углом.

Теперь рассмотрим трапецию в целом. Сумма острых углов \(A\) и \(C\) равна 90 градусов. Так как угол \(B\) тупой в обоих треугольниках, то в трапеции \(ABCD\) угол \(B\) тоже тупой.

Таким образом, все углы трапеции являются тупыми. В этом случае, большая диагональ \(AC\) трапеции является высотой трапеции, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения её длины.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Применим теорему Пифагора к треугольнику \(ABC\), где \(AC\) - гипотенуза, \(AB\) и \(BC\) - катеты:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

Так как \(AB = AD + DC = 2 + 5 = 7\) и \(BC = DC\), подставим значения:

\[ AC^2 = 7^2 + 5^2 \] \[ AC^2 = 49 + 25 \] \[ AC^2 = 74 \]

Теперь найдем длину большей диагонали \(AC\):

\[ AC = \sqrt{74} \approx 8.60 \]

Таким образом, длина большей диагонали трапеции \(AC\) примерно равна 8.60.