Question

Помогите пожалуйста)Стороны АС, ВС, АВ треугольника АВС равны 2квадратный корень из 5, квадратный корень 11 и 2 соотвест. Точка К расположена вне треугольника АВС, причем отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В. Известно, что треугольник с вершинами К,А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если угол КАС= 90 градусов? помогите пожалуйста)

Answer 1

По за данному условию можем сказать, что
АС/КС=АВ/АК=ВС/АС подобие ΔАВС и КАС,
угол cosАКС=cosВАС=АВ/АС=√2/2√5=1/√2*√5=1/√10

Значение ВС при данном условии не нужно???

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу подробно.

Обозначим стороны треугольника ABC как AB, AC и BC, а также стороны треугольника KAC как KA, KC и AC'.

Из условия задачи известно, что стороны треугольника ABC равны: \[ AB = 2\sqrt{5}, \] \[ AC = \sqrt{11}, \] \[ BC = 2. \]

Известно также, что стороны треугольника KAC пропорциональны сторонам треугольника ABC, так как треугольники подобны. Обозначим длину стороны AC' как x. Тогда:

\[ \frac{KA}{AB} = \frac{KC}{BC} = \frac{AC'}{AC}. \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{KA}{2\sqrt{5}} = \frac{KC}{2} = \frac{x}{\sqrt{11}}. \]

Решим первое уравнение относительно KA:

\[ KA = \frac{2\sqrt{5} \cdot x}{\sqrt{11}}. \]

Теперь мы знаем длину стороны KA. Также известно, что угол KAC равен 90 градусов.

Далее, найдем длину стороны AC' с использованием второго уравнения:

\[ KC = \frac{2 \cdot x}{\sqrt{11}}. \]

Теперь, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике KAC:

\[ KA^2 + AC'^2 = KC^2. \]

Подставляем известные значения:

\[ \left(\frac{2\sqrt{5} \cdot x}{\sqrt{11}}\right)^2 + x^2 = \left(\frac{2 \cdot x}{\sqrt{11}}\right)^2. \]

Решаем это уравнение для x. После нахождения x, мы можем найти косинус угла АКС:

\[ \cos \angle AKC = \frac{AC'}{KA} = \frac{x}{\frac{2\sqrt{5} \cdot x}{\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}}. \]

Таким образом, косинус угла АКС равен \( \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{5}} \).