Question

Высота правильной треугольной пирамиды 3 см; высота боковой грани 5 см. Найти площадь поверхности пирамиды и её объем.

Answer 1

Высота боковой грани - это апофема A.
Проекция апофемы правильной треугольной пирамиды на её основание равна (1/3) высоты основания.
Высота h основания равна:
h = 3*√(A²-H²)= 3*√(25-9) = 3√16 = 3*4 = 12 см.
Находим сторону а основания:
а = h/cos30° = 12/(√3/2) = 8√3 ≈ 13,85641 см.  
Площадь So основания равна:
So = a²√3/4 = 48√3 ≈  83,13844 см².
Объём V пирамиды равен:
V = (1/3)So*H = (1/3)* 83,13844*3 =  83,13844 см³. 

Answer 2

Для нахождения площади поверхности пирамиды, сначала найдем площадь основания. Так как у нас правильная треугольная пирамида, мы можем воспользоваться формулой для площади правильного треугольника: S_осн = (√3/4) * a^2, где S_осн - площадь основания, a - длина стороны треугольника.

Заметим, что сторона треугольника равна периметру основания пирамиды, поделенная на 3: a = (сумма всех сторон треугольника) / 3 = (5 + 5 + 5) / 3 = 15 / 3 = 5 см.

Теперь, найдем площадь основания: S_осн = (√3/4) * a^2 = (√3/4) * 5^2 = (√3/4) * 25 = (25√3)/ 4 см^2.

Теперь, найдем площадь боковой поверхности пирамиды: S_бок = (периметр основания) * (высота боковой грани) / 2 = (5 + 5 + 5) * 5 / 2 = 15 * 5 / 2 = 75/2 = 37.5 см^2.

Площадь поверхности пирамиды S_пов = S_осн + S_бок = (25√3)/4 + 37.5 ≈ 8.66 + 37.5 ≈ 46.16 см^2.

Чтобы найти объем пирамиды, используем формулу: V = (площадь основания) * (высота пирамиды) / 3 = (25√3)/4 * 3 / 3 = (25√3)/4 см^3.

Итак, площадь поверхности пирамиды составляет примерно 46.16 см^2, а её объем равен (25√3)/4 см^3.