Question

Внутри равнобедренного треугольника КМР ( КМ=КР)отмечена точка А так, что АМ=АР. Докажите, что луч КА является биссектрисой угла РКМ.

Answer 1

1) треугольники КАМ и КАР равны, т.к. :

 а)КМ=КР (по условию)

 б) КА - общая

 в) АМ=АР _по условию)

 треуголбник КАМ= треугольнику КАР ( по третьему признаку равенства треугольников)

2) угол МКА= углу АКР ( по доказанному)

Следовательно, КА является биссектрисой угла МКР

Answer 2

Для доказательства того, что луч КА является биссектрисой угла РКМ, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства биссектрисы угла.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. 2. Биссектриса угла, исходящая из вершины равнобедренного треугольника, делит противоположную сторону на две равные части.

Доказательство:

Дано: Внутри равнобедренного треугольника КМР (КМ=КР) отмечена точка А так, что АМ=АР.

Мы должны доказать, что луч КА является биссектрисой угла РКМ.

1. Из свойства равнобедренного треугольника (пункт 1) следует, что сторона КМ равна стороне КР: КМ = КР.

2. Из свойства равнобедренного треугольника (пункт 2) следует, что АМ = АР.

3. Предположим, что луч КА не является биссектрисой угла РКМ. Это означает, что угол КАР не равен углу КАМ.

4. Рассмотрим два случая: - Случай 1: Угол КАР больше угла КАМ. - В этом случае, поскольку АМ = АР, сторона АК должна быть больше стороны КМ (по теореме о неравенстве треугольника). - Но мы знаем, что КМ = КР, что противоречит предположению, что АК больше КМ. - Случай 2: Угол КАР меньше угла КАМ. - В этом случае, поскольку АМ = АР, сторона АК должна быть меньше стороны КМ (по теореме о неравенстве треугольника). - Но мы знаем, что КМ = КР, что противоречит предположению, что АК меньше КМ.

5. Оба случая приводят к противоречию, что означает, что наше предположение неверно. Следовательно, луч КА является биссектрисой угла РКМ.

Таким образом, мы доказали, что луч КА является биссектрисой угла РКМ.