Question

Помогите пожалуйста. Продолжения сторон AB и DC вписанного в окружность четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q. Докажите, что треугольники BDQ и CAQ подобны.

Answer 1

У этих треугольников общий угол при вершине Q. Кроме того их вписанные углы ACD и ABD опираются на одну и туже дугу - то есть равны. Таким образом треугольники подобны по двум равным углам: Q = Q и B = C

Answer 2

Давайте рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD и обозначим точку пересечения продолжений сторон AB и DC как Q. Мы хотим доказать, что треугольники BDQ и CAQ подобны.

Для начала обратим внимание на свойство вписанных углов: угол, образованный хордой и хордальным отрезком, равен половине угла, образованного этой хордой в центре окружности.

1. Рассмотрим угол ABC в четырехугольнике ABCD. Так как это вписанный угол, он равен углу ADC (угол, образованный той же хордой AC, но в другой точке).

2. Рассмотрим угол BQC. Поскольку это вертикальный угол для угла ABC, который равен углу ADC, то угол BQC также равен углу ADC.

3. Теперь обратим внимание на треугольник QBC. Угол QBC равен половине угла BQC (так как BC является хордой), а угол BQC равен углу ADC. Таким образом, угол QBC равен половине угла ADC.

4. Аналогично, в треугольнике QAD угол QAD равен половине угла ADC.

Теперь рассмотрим треугольники BDQ и CAQ:

- Угол BQD в треугольнике BDQ равен сумме углов QBC и QBD. - Угол CAQ в треугольнике CAQ равен сумме углов QAD и QAC.

Исходя из предыдущих рассуждений, углы QBC и QAD равны половине угла ADC. Таким образом, угол BQD равен углу CAQ, и треугольники BDQ и CAQ имеют два равных угла.

Таким образом, по признаку подобия треугольников (УУП), треугольники BDQ и CAQ подобны.