Question

Даны точки А (3;2), В (-1;5), С (2;8), D (-3; -4) а) Найдите координаты векторов АВ И DС б) Найдите вектор m(m1.m2) равный 2 АВ И CD в) Найдите косинус угла между векторами АВ И CD 2. Дан параллелограмм АВСД. Чему равна разность и сумма векторов ВА-ВС, ВА+ВС 3.Докажите, что четырёхугольник АВCD с вершинами А (8;-3) В (2;5) С (10;11) Д (16;3)-параллелограмм.

Answer 1

1) найдем координаты вектора АВ: 
АВ={-5;3;1}=CD по условию; 
2) координаты точки D(а; в; с) . Тогда, 
а-1=-5, в-1=3, с-4=1. Значит: D(-4;4;5). Вот и всё!)

Answer 2

Давайте решим каждый из пунктов вашего вопроса.

a) Найдите координаты векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{DC} \):

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется как разность координат конечной точки (B) и начальной точки (A):

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

\[ \overrightarrow{AB} = (-1 - 3, 5 - 2) = (-4, 3) \]

Аналогично, вектор \( \overrightarrow{DC} \) вычисляется как разность координат конечной точки (C) и начальной точки (D):

\[ \overrightarrow{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D) \]

\[ \overrightarrow{DC} = (2 - (-3), 8 - (-4)) = (5, 12) \]

б) Найдите вектор \( \overrightarrow{m} \), равный \( 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \):

\[ \overrightarrow{m} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \]

\[ \overrightarrow{m} = 2(-4, 3) + (5, 12) \]

\[ \overrightarrow{m} = (-8, 6) + (5, 12) \]

\[ \overrightarrow{m} = (-3, 18) \]

в) Найдите косинус угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \):

Косинус угла \( \theta \) между двумя векторами \( \overrightarrow{u} \) и \( \overrightarrow{v} \) вычисляется по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\| \cdot \|\overrightarrow{v}\|} \]

где \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \) - скалярное произведение векторов, а \( \|\overrightarrow{u}\| \) и \( \|\overrightarrow{v}\| \) - их длины.

\[ \cos(\theta) = \frac{(-4 \cdot 5 + 3 \cdot 12)}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{5^2 + 12^2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-20 + 36}{\sqrt{16 + 9} \cdot \sqrt{25 + 144}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{16}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{169}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{16}{5 \cdot 13} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{16}{65} \]

г) Дан параллелограмм \( ABCD \). Чему равна разность и сумма векторов \( \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = (-\overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} \]

\[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]

д) Докажите, что четырёхугольник \( ABCD \) с вершинами \( A(8;-3), B(2;5), C(10;11), D(16;3) \) - параллелограмм:

Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, нужно проверить, что противоположные стороны равны по длине и параллельны.

1. \( \overrightarrow{AB} = (2 - 8, 5 - (-3)) = (-6, 8) \) 2. \( \overrightarrow{CD} = (16 - 10, 3 - 11) = (6, -8) \)

Стороны \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) равны и противоположны, что подтверждает, что \( ABCD \) - параллелограмм.