Question

В прямоугольном параллепипеде абсда1б1с1д1 стороны основания аб=5 вс =3 ,а высота аа1=4.Найдмте угол между прямыми ас1 и б1с ?

Answer 1

Введем координаты 
пусть точка D - (0;0;0)
A(0;0;3)
C1(5;0;1)
B1(5;3;1)
C(5;0;0)
Тогда вектора между которыми ищем угол имеют координаты
AC1(5;0;-2)
B1C(0;-3;-1)
Косинус угла между векторами в пространстве найдем через скалярное произведение
cos a=(5*0+0*(-3)+(-2)*(-1))/(корень из(5^2+(-2)^2)корень из ((-3)^2+(-1)^2)=2/корень(29)корень(10)= 2/корень из 290
Тогда угол - арккосинус 2/корень290

Answer 2

Для нахождения угла между прямыми \(AC_1\) и \(B_1C\), нам нужно рассмотреть соответствующие векторы и использовать их скалярное произведение.

Пусть вектор \( \vec{AB_1} \) представляет сторону \( AB_1 \) параллелепипеда, а вектор \( \vec{BC} \) представляет сторону \( BC \) параллелепипеда.

Вектор \( \vec{AB_1} \) можно представить как разность координат точек \( A \) и \( B_1 \):

\[ \vec{AB_1} = \langle x_{B_1} - x_A, y_{B_1} - y_A, z_{B_1} - z_A \rangle \]

Аналогично, вектор \( \vec{BC} \) представляется как разность координат точек \( B \) и \( C \):

\[ \vec{BC} = \langle x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B \rangle \]

Теперь мы можем использовать скалярное произведение векторов:

\[ \vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB_1}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\theta) \]

где \( \theta \) - угол между векторами.

Длины векторов \( \vec{AB_1} \) и \( \vec{BC} \) равны соответственно длинам сторон \( AB_1 \) и \( BC \):

\[ |\vec{AB_1}| = AB_1 = 5 \]

\[ |\vec{BC}| = BC = 3 \]

Теперь мы можем записать уравнение для скалярного произведения:

\[ \vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = 5 \cdot 3 \cdot \cos(\theta) \]

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

\[ \vec{AB_1} \cdot \vec{BC} = (x_{B_1} - x_A)(x_C - x_B) + (y_{B_1} - y_A)(y_C - y_B) + (z_{B_1} - z_A)(z_C - z_B) \]

Таким образом, мы имеем уравнение:

\[ (x_{B_1} - x_A)(x_C - x_B) + (y_{B_1} - y_A)(y_C - y_B) + (z_{B_1} - z_A)(z_C - z_B) = 15 \cos(\theta) \]

Теперь мы знаем координаты точек \( A, B, B_1, C \):

\[ A(0, 0, 0), B(5, 0, 0), B_1(0, 5, 0), C(5, 3, 0) \]

Подставим эти значения в уравнение и решим для \( \theta \):

\[ (0 - 0)(5 - 5) + (5 - 0)(3 - 0) + (0 - 0)(0 - 0) = 15 \cos(\theta) \]

\[ 0 + 15 + 0 = 15 \cos(\theta) \]

\[ 15 = 15 \cos(\theta) \]

\[ \cos(\theta) = 1 \]

\[ \theta = \arccos(1) \]

\[ \theta = 0^\circ \]

Таким образом, угол между прямыми \( AC_1 \) и \( B_1C \) равен \( 0^\circ \).