Question

Около окружности описана равнобедренная трапеция. а) Докажите, что ее диагональ проходит через середину отрезка, концы которого – точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. б) Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 3/8 площади трапеции.

Answer 1

 Положим что это верно , то есть $AC$ делить $\fracno numeric noise key 1057no numeric noise key 1056$  $M \in AB\\ N \in CD$,   $M;N$  точки касания ,   тогда и вторая диагональ  $BD$ делить $\frac{MN}{2}$  из-за того что трапеция равнобедренная . 
   Продлим $AB;CD$ за точки $B,C$  , тогда и замечательного свойства трапеций , того что отрезок соединяющий диагонали и основания , проведенный из вершины проходит через одну точку , но так как трапеция равнобедренная , получим  что прямая проведенная с вершины треугольника  , будет делить $BC;AD$  на $2$ , но так как  $MN || BC || AD$  , то и $MN$ и точки пересечения диагоналей и $MN$ будут пересекаться в одной точке ,а значит  изначальное условие было верно . 
   
Так как трапеция , равнобедренная , диагонали делят на треугольники ,  два из которых подобны ,  если большее основание и меньшее      равны            $a,b$ тогда $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{b}{a}$   $h_{1} ; h_{2}$  высоты треугольников образованных отрезками диагоналей и основаниями .  Получим 
  $\frac{(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h2) - (bh_{2}+ah_{2})}{2} = \frac{3*(a+b)*(b* \frac{h_{2}}{a}+h_{2})}{16} \\ 16ab=3(a+b)^2 \\ 3a^2-10ab+3b^2 = 0 \\ (a-3b)(b-3a) = 0 \\ a=3b$
  То есть основания относятся как $\frac{a}{b}=3$
     

Answer 2

a) Доказательство того, что диагональ трапеции проходит через середину отрезка, концы которого - точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции.

Для доказательства этого факта, рассмотрим следующую информацию:

- Окружность описана вокруг равнобедренной трапеции. - Диагональ трапеции проходит через середину отрезка, концы которого - точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции.

Для начала, обозначим точки следующим образом: - A и B - основания трапеции. - C и D - точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции. - M - середина отрезка CD.

Также, обозначим радиус окружности как R.

Теперь, чтобы доказать, что диагональ трапеции проходит через середину отрезка CD, нам нужно показать, что точка M является серединой отрезка AB.

Для этого, рассмотрим следующие факты:

1. Точки C и D являются точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции. Из этого следует, что отрезки CM и DM являются радиусами окружности.2. Радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен к соответствующей стороне трапеции.3. Так как трапеция равнобедренная, то стороны трапеции, к которым проведены радиусы, равны друг другу.4. Следовательно, отрезки AC и BD равны друг другу.5. Так как точки C и D являются точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции, то отрезки AC и BD являются касательными к окружности.6. Из свойств касательных, следует, что углы между отрезками AC и BD и соответствующими сторонами трапеции равны.7. Так как углы между отрезками AC и BD и соответствующими сторонами трапеции равны, то углы между отрезками AM и BM и соответствующими сторонами трапеции также равны.8. Из равенства углов следует, что отрезки AM и BM равны друг другу.9. Следовательно, точка M является серединой отрезка AB.

Таким образом, мы доказали, что диагональ трапеции проходит через середину отрезка, концы которого - точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции.

б) Нахождение отношения оснований трапеции, если известно, что площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 3/8 площади трапеции.

Для нахождения отношения оснований трапеции, воспользуемся следующими шагами:

1. Обозначим основания трапеции как a и b, где a - меньшее основание, а b - большее основание. 2. Обозначим площадь трапеции как S. 3. Обозначим площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции как S_четырехугольника.

Теперь, у нас есть следующая информация: - S_четырехугольника составляет 3/8 площади трапеции.

Используя эту информацию, мы можем записать следующее уравнение:

S_четырехугольника = (3/8) * S

Также, мы знаем, что площадь трапеции можно выразить через ее основания и высоту (h) по формуле:

S = (a + b) * h / 2

Теперь, мы можем записать уравнение для площади четырехугольника:

S_четырехугольника = (3/8) * (a + b) * h / 2

Так как у нас есть два неизвестных (a и b), нам нужно еще одно уравнение, чтобы решить систему уравнений и найти значения a и b.

Допустим, мы знаем, что трапеция равнобедренная, то есть ее боковые стороны равны. Обозначим боковую сторону трапеции как c.

Тогда, мы можем записать следующее уравнение:

c = √((b - a)^2 + h^2)

Теперь, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и b). Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и b.

После решения системы уравнений, мы найдем значения a и b, и сможем найти отношение оснований трапеции, которое будет равно a/b.

Примечание: Для полного решения задачи требуется дополнительная информация, такая как значение высоты трапеции или значение боковой стороны трапеции. Без этой информации невозможно найти конкретное значение отношения оснований трапеции.