Question

Из точки К к окружности с центром О проведены 2 прямые, касающиеся данной окружности в точках М и N. Найти КМ, KN, если ОК=12 см, угол МОN=120°.

Answer 1

Если начертить рисунок, увидите два равных прямоугольных треугольника OKN и OKM с углами 90,60,30.

 KM=KN=12*cos 30=12*(√3/2)=6*√3

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

У нас есть окружность с центром О и радиусом ОК, равным 12 см. Из точки К проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках М и N. Угол МОN равен 120°.

Мы знаем, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Таким образом, угол МОК и угол NOK прямые.

Также, угол МОN — это угол между касательными, проведенными к точкам М и N. Так как это треугольник, угол МОК и угол NOK дополняют угол МОN до 180°. Таким образом, каждый из углов МОК и NOK равен (180° - 120°) / 2 = 30°.

Теперь у нас есть треугольники МОК и NOK с известными углами. Мы можем использовать законы синусов для нахождения длин сторон.

Пусть KM = KN = x (так как М и N — точки касания).

В треугольнике МОК: \[ \frac{KM}{\sin(\angle MOK)} = \frac{OK}{\sin(\angle KMO)} \]

Подставим известные значения: \[ \frac{x}{\sin(30°)} = \frac{12}{\sin(90°)} \]

Так как \(\sin(90°) = 1\), уравнение упрощается до: \[ x = 12 \cdot \frac{\sin(30°)}{1} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \]

Таким образом, KM = KN = 6 см.