Question

60 БАЛЛОВ!! Четырёхугольник вписан в окружность. Р-точка пересечения продолжений сторон АВ и СD. Докажите, что АP*BP=CP*DP.

Answer 1

Фото:::::::::::::::::::::::::::::::::::

Answer 2

Дан четырёхугольник \( ABCD \), вписанный в окружность, где \( P \) - точка пересечения продолжений сторон \( AB \) и \( CD \).

Докажем, что \( AP \cdot BP = CP \cdot DP \).

Рассмотрим хорды \( AB \) и \( CD \), а также их продолжения через точку \( P \). Обозначим углы следующим образом:

\(\angle APC = \alpha\)

\(\angle APD = \beta\)

\(\angle BPC = \gamma\)

\(\angle BPD = \delta\)

Так как четырёхугольник \( ABCD \) вписанный, то сумма углов противоположных сторон равна \( 180^\circ \). Таким образом, мы можем записать следующие равенства:

\(\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - \alpha - \beta\) (1)

\(\angle ABD = \angle ACD = 180^\circ - \gamma - \delta\) (2)

Теперь обратим внимание на треугольники \( APC \) и \( APD \). В этих треугольниках:

\(\angle APC + \angle APD = \alpha + \beta\) (3)

Но согласно равенству (1), \(\angle APC + \angle APD = 180^\circ - \angle ABC - \angle ABD = 180^\circ - (180^\circ - \alpha - \beta) - (180^\circ - \gamma - \delta)\)

Упростим:

\(\alpha + \beta = \gamma + \delta\) (4)

Аналогично, рассмотрим треугольники \( BPC \) и \( BPD \). В этих треугольниках:

\(\angle BPC + \angle BPD = \gamma + \delta\) (5)

Но согласно равенству (2), \(\angle BPC + \angle BPD = 180^\circ - \angle ABC - \angle ABD = 180^\circ - (180^\circ - \alpha - \beta) - (180^\circ - \gamma - \delta)\)

Упростим:

\(\gamma + \delta = \alpha + \beta\) (6)

Из уравнений (4) и (6) следует, что \(\alpha + \beta = \gamma + \delta\), что означает, что углы в треугольниках \( APC \) и \( BPD \) равны между собой.

Теперь вернемся к равенству \( AP \cdot BP = CP \cdot DP \). Рассмотрим отношение площадей треугольников \( APC \) и \( BPD \):

\(\frac{S_{APC}}{S_{BPD}} = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot CP \cdot \sin(\alpha)\) (7)

\(\frac{S_{APC}}{S_{BPD}} = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot DP \cdot \sin(\beta)\) (8)

Так как \(\sin(\alpha) = \sin(\beta)\) (из-за равенства углов в треугольниках \( APC \) и \( BPD \)), то у нас также есть равенство:

\(\frac{1}{2} \cdot AP \cdot CP = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot DP\)

Умножим обе стороны на 2:

\(AP \cdot CP = BP \cdot DP\)

Таким образом, доказано, что \(AP \cdot BP = CP \cdot DP\).