Question

1) Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника 2) Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найдите гипотенузу и площадь треугольника 3) Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны 8 и 10 см. 4) В прямоугольной трапеции ABCK большая боковая сторона равна 3л/2 см,угол К равен 45 градусов, а высота СН делит основание АК пополам.Найдите площадь трапеции если можно напишите полностью ответ к каждой!!!

Answer 1

В условии в 4 задаче этот непонятный значок означает корень, я проверил условие. То есть сторона равна 3 корень из 2. 
Решение в скане.

Answer 2

1) Площадь треугольника:

Пусть сторона треугольника равна \(a\) см. Тогда высота, проведенная к этой стороне, будет \(2a\) см.

Формула для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - основание, \(h\) - высота.

Подставим значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 25\) см².

Ответ: Площадь треугольника равна 25 см².

2) Гипотенуза и площадь прямоугольного треугольника:

Даны катеты \(a = 6\) см и \(b = 8\) см.

Гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Подставим значения: \(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) см.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, используем формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\):

\(S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) см².

Ответ: Гипотенуза равна 10 см, а площадь треугольника равна 24 см².

3) Площадь и периметр ромба:

Даны диагонали ромба: \(d_1 = 8\) см и \(d_2 = 10\) см.

Формула для площади ромба: \(S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2\).

Подставим значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40\) см².

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. В ромбе все стороны равны, поэтому периметр \(P = 4 \cdot a\), где \(a\) - длина стороны ромба.

Чтобы найти длину стороны, можем воспользоваться тем, что диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника. Пусть \(a\) - длина стороны:

\[ a = \sqrt{\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}} = \sqrt{\frac{8^2}{4} + \frac{10^2}{4}} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \text{ см} \]

Теперь, подставив \(a\) в формулу для периметра, получаем \(P = 4 \cdot \sqrt{41}\).

Ответ: Площадь ромба равна 40 см², периметр ромба - \(4 \cdot \sqrt{41}\) см.

4) Площадь трапеции:

Дано: большая боковая сторона \(BC = 3 \ell/2\) см, угол \(K = 45^\circ\), высота \(CH\) делит основание \(AK\) пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CKH\). Так как \(\angle K = 45^\circ\), то \(CK = CH\).

Также, из условия, \(AK = 2 \cdot CH\).

Из этого следует, что \(AK = 2 \cdot CK\).

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). Он прямоугольный, и у него стороны соотносятся как:

\[BC^2 = AC^2 + AB^2.\]

Подставим значения: \[\left(\frac{3 \ell}{2}\right)^2 = CK^2 + AC^2.\]

Также, зная, что \(AK = 2 \cdot CK\), можем выразить \(CK\) через \(AC\): \[CK = \frac{AK}{2}.\]

Подставим это в уравнение: \[\left(\frac{3 \ell}{2}\right)^2 = \left(\frac{AK}{2}\right)^2 + AC^2.\]

Теперь решим это уравнение относительно \(AC\).

Решение уравнения: \[AC = \frac{\sqrt{5} \ell}{2}.\]

Теперь можем найти площадь трапеции, используя формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot (AC + BD) \cdot h,\]

где \(h\) - высота трапеции, равная \(CH\).

Подставим значения: \[S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{5} \ell}{2} + \frac{3 \ell}{2}\right) \cdot CH = \frac{\sqrt{5} \ell + 3 \ell}{4} \cdot CH.\]

Так как \(CH = CK\), и \(CK = \frac{AK}{2}\), подставим это: \[S = \frac{\sqrt{5} \ell + 3 \ell}{4} \cdot \frac{AK}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 3) \ell}{4} \cdot \frac{AK}{2}.\]

Ответ: Площадь трапеции равна \(\frac{(\sqrt{5} + 3) \ell}{8} \cdot AK\).