Question

Радиус вписанной в правильный многоугольник со стороной 24см окружности равен 4 корень из 3-х сантиметров. Найдите радиус описанной окружности

Answer 1

Решение на фотографии, если будет непонятен рисунок - пиши

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами правильных многоугольников и окружностей, вписанных и описанных вокруг них.

Пусть \( R \) - радиус описанной окружности, \( r \) - радиус вписанной окружности, и \( a \) - длина стороны правильного многоугольника.

Свойства вписанной окружности: \[ r = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \] где \( n \) - количество сторон правильного многоугольника.

Свойства описанной окружности: \[ R = \frac{a}{2 \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

В данной задаче у нас правильный многоугольник со стороной \( a = 24 \) см и вписанной окружностью радиусом \( r = 4\sqrt{3} \) см.

Подставим известные значения в формулу для вписанной окружности: \[ 4\sqrt{3} = \frac{24}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} \]

Решим уравнение относительно \( n \): \[ \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{24}{2 \cdot 4\sqrt{3}} \]

\[ \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{24}{8\sqrt{3}} \]

\[ \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} \]

\[ \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sqrt{3} \]

Теперь найдем \( n \): \[ \frac{\pi}{n} = \arctan(\sqrt{3}) \]

\[ n = \frac{\pi}{\arctan(\sqrt{3})} \]

\[ n = \frac{\pi}{\frac{\pi}{6}} \] (так как \(\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\))

\[ n = 6 \]

Таким образом, у нас шестигранный (шестиугольный) многоугольник.

Теперь можем найти радиус описанной окружности, подставив \( n = 6 \) и \( a = 24 \) в формулу для \( R \): \[ R = \frac{24}{2 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)} \]

\[ R = \frac{24}{2 \cdot \frac{1}{2}} \]

\[ R = 24 \]

Итак, радиус описанной окружности равен 24 см.