Question

Запишите уравнение окружности с радиусом 5 см, которая проходит через точку (1;8), а ее центр находится на биссектрисе правой координатной четверти, пожалуйста

Answer 1

Уравнение окружности в общем виде:
( х - а)^2 + (у - в)^2 = R^2,
где (а,в)  - координаты центра окружности,
R - радиус.
Если центр окружности лежит на биссектрисе, значит координаты равны у = х. Пусть у = х = t.
Точка (1; 8) принадлежит окружности, значит:   
(1-t)^2 + (8-t)^2 = 5^2;    
1 - 2t + t^2 + 64 - 16t + t^2 = 25; 
2t^2 - 18t + 40 = 0;    
 t^2 - 9t + 20 = 0; 
 t = 4  или  t = 5,
уравнений, удовлетворяющих данному условию  два:
(х - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2      или    (х -4)^2 + (y - 4)^2 = 5^2

Answer 2

Уравнение окружности с известным радиусом и центром

Уравнение окружности задается с помощью центра окружности и радиуса. Для решения данной задачи нужно найти координаты центра окружности.

Согласно условию, центр окружности находится на биссектрисе правой координатной четверти и проходит через точку (1;8).

Для начала, найдем координаты центра окружности. Поскольку центр находится на биссектрисе правой координатной четверти, мы можем предположить, что координаты центра имеют одинаковые значения. Обозначим их как (x, x).

Затем, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости:

\[ \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} \]

Зная, что радиус окружности равен 5 см и окружность проходит через точку (1;8), можем записать уравнение:

\[ \sqrt{{(x - 1)^2 + (x - 8)^2}} = 5 \]

Наша задача - найти значения координат x, которые удовлетворяют этому уравнению.

Решение уравнения

Для решения уравнения окружности, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ (x - 1)^2 + (x - 8)^2 = 5^2 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 2x + 1 + x^2 - 16x + 64 = 25 \]

Соберем все члены в одну сторону и упростим:

\[ 2x^2 - 18x + 40 = 0 \]

Теперь, решим полученное квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти корни:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

Где a = 2, b = -18 и c = 40. Подставим значения в формулу:

\[ x = \frac{{-(-18) \pm \sqrt{{(-18)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 40}}}}{{2 \cdot 2}} \]

Выполним вычисления:

\[ x = \frac{{18 \pm \sqrt{{324 - 320}}}}{{4}} \]

\[ x = \frac{{18 \pm \sqrt{{4}}}}{{4}} \]

\[ x = \frac{{18 \pm 2}}{{4}} \]

Таким образом, получаем два значения x:

\[ x_1 = \frac{{18 + 2}}{{4}} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{{18 - 2}}{{4}} = 4 \]

Ответ

Итак, мы нашли два возможных значения для x: 5 и 4. Теперь, используя эти значения, мы можем найти соответствующие значения y, так как центр окружности имеет координаты (x, x).

Для x = 5:

Центр окружности: (5, 5)

Уравнение окружности: \((x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25\)

Для x = 4:

Центр окружности: (4, 4)

Уравнение окружности: \((x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 25\)

Таким образом, уравнение окружности с радиусом 5 см, проходящей через точку (1;8), и с центром на биссектрисе правой координатной четверти имеет два возможных варианта:

\((x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25\)

\((x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 25\)