Question

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 8:5, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 20.

Answer 1

Пусть биссектриса ВВ₁ точкой О делится в отношении 8:5, тогда
АВ : ВВ₁ = 8:5 = 8х : 5х.
Проведем биссектрису СС₁, она также будет проходить через т. О, т.к. биссектрисы треуг. пересекаются в одной точке (центр впис. окр.)
Аналогично, CB : CB₁ = 8y : 5y.
Получили, что АВ₁ = 5х,  В₁С =  5у.
Из условия АС = 20 = 5х + 5у. 
Откуда х + у = 20/5 = 4

Тогда Периметр треуг. АВС = АВ + ВС + АС = 8х + 8У + 20 = 8 (х+у) + 20 = 8 *4 + 20 = 32 + 20 + 52

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника через \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) - сторона, к которой проведена биссектриса. Пусть точка, где биссектриса касается стороны \(c\), обозначается как \(D\).

Из условия известно, что биссектриса делится в отношении 8:5, считая от вершины. Это означает, что отрезок \(CD\) (биссектриса) делится в отношении 8:5, и пусть длина отрезка \(CD\) будет \(x\).

Теперь мы знаем, что длина отрезка \(AD\) равна \(8x\), а длина отрезка \(BD\) равна \(5x\). Также, из условия известно, что длина стороны \(c\) равна 20.

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[AD + BD = c\]

\[8x + 5x = 20\]

\[13x = 20\]

\[x = \frac{20}{13}\]

Теперь, мы можем найти длины отрезков \(AD\) и \(BD\):

\[AD = 8x = 8 \cdot \frac{20}{13}\]

\[BD = 5x = 5 \cdot \frac{20}{13}\]

Теперь мы можем найти длины сторон \(a\) и \(b\):

\[a = AD + CD\]

\[b = BD + CD\]

Таким образом:

\[a = 8 \cdot \frac{20}{13} + 20\]

\[b = 5 \cdot \frac{20}{13} + 20\]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, сложим длины всех его сторон:

\[P = a + b + c\]

\[P = \left(8 \cdot \frac{20}{13} + 20\right) + \left(5 \cdot \frac{20}{13} + 20\right) + 20\]

Теперь вычислите значение выражения, и это будет периметр треугольника.