Question

у рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює - 72 градусів, а бісектриса цього кута має довжину L. Знайдіть довжини сторін трикутника.

Answer 1

находим третий угол 180-144=36. Пусть A B и C вершины, M -точка пересечения

биссектрисы с BC.

BMA=180-72=108.

AMC=180-36-72=72=MCA

AC=AM=L

AB=(L/2)/cos72=L/2cos(90-18)=L/2sin18

 

 

Answer 2

Этот треугольник очень интересно устроен - в нем основание равно биссектрисе угла при основании, и еще им равен отрезок от вершины (противоположной основанию) до точки пересечения этой биссектрисы с боковой стороной. 

То, что у так построенного треугольника угол при основании равен 72 градуса, а угол при вершине 36, показать очень легко. Поскольку биссектриса делит треугольник на 2 равнобедренных, то получается, что угол при вершине равен половине угла при основании - этого уже достаточно, поскольку (если Ф - угол при вершине) Ф + 2*Ф + 2*Ф = 5*Ф = 180; откуда Ф  = 36.

Итак, известно, что основание a равно L, и что биссектриса делит боковую сторону b на отрезки, равные L и b - L, причем по свойству биссектрисы

L/(b - L) = b/L; или (обозначим x = b/L)

x^2 - x  - 1 =0;  x = (√5 + 1)/2; отрицательный корень отброшен

Ответ a = L; b = L*(√5 + 1)/2;

 

Если внимательно посмотреть на Гошино решение, можно понять, почему этот треугольник можно считать "замечательным" :))) sin(18) = (√5 + 1)/4;

Answer 3

Для рівнобедреного трикутника, де кут при основі дорівнює 72 градуси, можна скористатися властивостями бісектриси та внутрішніми кутами.

Позначимо вершини трикутника як A, B і C, де AB = AC (рівнобедрений трикутник). Кут при основі позначимо як BAC, і він дорівнює 72 градуси. Бісектриса цього кута поділить кут BAC на два рівні кути.

Нехай BD - бісектриса, що поділяє кут BAC на два рівні кути. Тоді ми маємо кути DAB і DAC, кожен з них дорівнює половині кута BAC, тобто 36 градусів.

Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то кути DAB і DAC також рівні. Отже, ми отримали два кути в трикутнику - 36 градусів кожен.

Тепер ми можемо визначити третій кут трикутника, який дорівнює 180 градусів (сума всіх кутів в трикутнику) - 36 градусів - 36 градусів = 108 градусів.

Отже, ми знаємо, що у трикутнику ABC кути дорівнюють 36 градусів, 36 градусів і 108 градусів.

Тепер давайте звернемо увагу на трикутник ABD, де BD - бісектриса. Ми маємо кути DAB і DBA, які дорівнюють 36 градусів кожен.

Оскільки сума всіх кутів в трикутнику ABD дорівнює 180 градусів, ми можемо знайти кут DBA:

\[ \angle DBA = 180 - \angle DAB - \angle ABD \] \[ \angle DBA = 180 - 36 - 36 = 108 \]

Отже, ми знаємо, що кут DBA дорівнює 108 градусів.

Тепер у нас є трикутник ABD, де ми знаємо кути при вершинах: 36 градусів, 36 градусів і 108 градусів.

Оскільки сума всіх кутів у трикутнику дорівнює 180 градусів, то ми можемо знайти кут DAB:

\[ \angle ADB = 180 - \angle DBA - \angle DAB \] \[ \angle ADB = 180 - 108 - 36 = 36 \]

Отже, ми знаємо, що кут ADB дорівнює 36 градусів.

Тепер у трикутнику ABD ми маємо сторону AD, яка є бісектрисою кута при вершині, та відомий кут ADB (36 градусів). Ми можемо використовувати тригонометричні відношення для знаходження сторін трикутника.

\[ \tan(\angle ADB) = \frac{BD}{AD} \]

Ми знаємо, що \(\tan(36^\circ)\) є відомим значенням, і ми можемо використовувати його для розрахунку відношення BD до AD.

\[ \tan(36^\circ) = \frac{BD}{AD} \]

Тепер ми можемо виразити BD відносно AD:

\[ BD = AD \cdot \tan(36^\circ) \]

Таким чином, ми маємо вираз для довжини бісектриси в трикутнику. Якщо ви маєте додаткові відомості, наприклад, довжину бісектриси L, ви можете використовувати цю інформацію для знаходження конкретних значень для сторін трикутника.