Question

Центр окружности вписанной в прямоугольную трапецию удален от концов большей боковой стороны на 15 и 20 см.Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Решение смотри ниже.

Answer 2

Finding the Area of a Trapezoid with an Inscribed Circle

To find the area of a trapezoid with an inscribed circle, we need to know the lengths of the bases and the distance between the bases and the center of the inscribed circle. In this case, we are given that the center of the inscribed circle is located 15 cm and 20 cm away from the ends of the longer base.

Let's denote the lengths of the bases of the trapezoid as a and b, with a being the longer base. The distance between the bases and the center of the inscribed circle can be denoted as h.

To find the area of the trapezoid, we can use the formula:

Area = (a + b) * h / 2.

Now, let's substitute the given values into the formula:

a = 20 cm (distance from the ends of the longer base to the center of the inscribed circle)

b = ? (length of the shorter base)

h = 15 cm (distance from the ends of the longer base to the center of the inscribed circle)

To find the length of the shorter base (b), we need more information. Please provide the missing value, and I will be happy to help you calculate the area of the trapezoid.

Answer 3

Пусть \(ABCD\) - прямоугольная трапеция, где \(AB\) и \(CD\) - основания, \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны, и \(O\) - центр вписанной в нее окружности. Пусть также \(E\) и \(F\) - точки касания окружности со сторонами \(AB\) и \(CD\) соответственно.

Согласно условию задачи, расстояние от центра окружности до концов большей боковой стороны (скажем, \(BC\)) равно 20 см и 15 см.

Теперь, обозначим половину длины большей боковой стороны как \(x\), а половину разности длин оснований как \(h\).

\[x = \frac{BC}{2}, \quad h = \frac{CD - AB}{2}\]

Также, по свойствам вписанного угла, \(OE \perp AB\) и \(OF \perp CD\). Таким образом, треугольники \(OBE\) и \(OBF\) - прямоугольные треугольники.

Используем теорему Пифагора в этих треугольниках:

\[OE^2 + BE^2 = OB^2, \quad OF^2 + BF^2 = OB^2\]

Также известно, что расстояния от центра окружности до сторон трапеции равны радиусу окружности. Поскольку \(OE = OF = r\), где \(r\) - радиус окружности, мы можем записать:

\[r^2 + BE^2 = OB^2, \quad r^2 + BF^2 = OB^2\]

Теперь мы можем выразить \(OB^2\) из обоих уравнений:

\[OB^2 = r^2 + BE^2 = r^2 + BF^2\]

Теперь, учитывая, что \(BE = BF = x\), мы получаем:

\[OB^2 = r^2 + x^2, \quad OB^2 = r^2 + x^2\]

Сложим оба уравнения:

\[2OB^2 = 2r^2 + 2x^2\]

Теперь, зная, что \(OB = x + r + h\), можем подставить это в уравнение:

\[2(x + r + h)^2 = 2r^2 + 2x^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[2x^2 + 2r^2 + 2h^2 + 4xr + 4xh + 4rh = 2r^2 + 2x^2\]

Сократим обе стороны уравнения на 2 и упростим:

\[x^2 + h^2 + 2xr + 2xh + 2rh = r^2 + x^2\]

Отбросим \(x^2\) с обеих сторон и упростим:

\[h^2 + 2xr + 2xh + 2rh = r^2\]

Теперь, учитывая, что \(x = \frac{BC}{2}\) и \(h = \frac{CD - AB}{2}\), подставим значения:

\[\left(\frac{CD - AB}{2}\right)^2 + BC(CD - AB) + BC(CD - AB) + (CD - AB)r = r^2\]

Упростим это уравнение. Обратите внимание, что \(BC\) можно выразить как \(BC = CD - AB\), так как это прямоугольная трапеция:

\[\frac{(CD - AB)^2}{4} + BC(CD - AB) + BC(CD - AB) + (CD - AB)r = r^2\]

\[\frac{CD^2 - 2CDAB + AB^2}{4} + (CD - AB)(CD - AB) + (CD - AB)r + (CD - AB)r = r^2\]

\[\frac{CD^2 - 2CDAB + AB^2}{4} + (CD - AB)^2 + 2(CD - AB)r = r^2\]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[CD^2 - 2CDAB + AB^2 + 4(CD - AB)^2 + 8(CD - AB)r = 4r^2\]

Теперь, учитывая, что \(CD - AB = 2h\), подставим это:

\[CD^2 - 2CDAB + AB^2 + 4(2h)^2 + 8(2h)r = 4r^2\]

\[CD^2 - 2CDAB + AB^2 + 16h^2 + 16hr = 4r^2\]

\[CD^2 - 2CDAB + AB^2 + 16h(h + r) = 4r^2\]

Теперь у нас есть уравнение, включающее длины сторон трапеции и радиус окружности. Однако для того чтобы найти площадь трапеции, нужно использовать формулу для площади трапеции:

\[S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h\]

В уравнении у нас есть \(AB\), \(CD\), и \(h\), так что мы можем подставить их и решить уравнение относительно \(S_{\text{трапеции}}\).

\[S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h\]

\[S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot \frac{CD - AB}{2}\]

Теперь мы можем подставить выражение для \(CD - AB\):

\[S_{\text{