Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Точки A1, B1, C1 и D1 являются серединами отрезков АО, ВО, СО, DO соответственно. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1 также является ромбом

Answer 1

Обозначим сторону ромба за a. Заметим, что отрезок A1B1 является средней линией треугольника AOB. Тогда A1B1=1/2AB=1/2a. Аналогично, отрезки B1C1, C1D1, D1A1 являются средними линиями в треугольниках BOC, COD, AOD соответственно, значит, каждый из них равен половине стороны исходного ромба. Таким образом, все стороны четырехугольника A1B1C1D1 равны между собой и равны a/2. Как известно, четырехугольник с равными сторонами является ромбом, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник A1B1C1D1 является ромбом, мы можем воспользоваться свойствами ромба.

Свойство 1:

В ромбе все стороны равны между собой.

Так как A1, B1, C1 и D1 являются серединами отрезков АО, ВО, СО и DO соответственно, то по свойству серединной линии отрезка, отрезок A1B1 будет равен отрезку AB, отрезок B1C1 будет равен отрезку BC, отрезок C1D1 будет равен отрезку CD и отрезок D1A1 будет равен отрезку DA.

Свойство 2:

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам.

Из условия задачи, диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Также, A1B1 и C1D1 являются серединными линиями диагоналей AB и CD соответственно. Следовательно, A1B1 и C1D1 будут проходить через точку O и делить диагонали пополам.

Свойство 3:

В ромбе все углы прямые.

Так как диагонали перпендикулярны и делятся пополам, то углы, образованные диагоналями и сторонами ромба, будут прямыми.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник A1B1C1D1 является ромбом, так как все его стороны равны, диагонали перпендикулярны и делятся пополам, а все углы прямые.