Question

В окружности с центром О проведены хорды АВ и СД, которые пересекаются в точке Е. АС диаметр, АС=39 СМ, АЕ=16 СМ, ВЕ=20 СМ. Найдите ДЕ.

Answer 1

Треугольники АДС и АВС прямоугольные, так как содержат вписанные углы, опирающиеся на диаметр. Углы Д и В - прямые, АВ = 16+20 = 36 см.
Находим катет ВС: ВС = √(39²-36²) = √(39-36)(39+36) = √(3*75) = 15 см.
Косинус угла ВАС равен:
cosBAC = (36²+39²-15²)/(2*36*39) = 2592/2808 = 12/13.
Теперь находим отрезок ЕС по теореме косинусов:
ЕС =  √(16²+39²-2*16*39*(12/13)) = √(256+1524-1152) = √625 = 25 см.
Треугольники АДЕ и ВЕС подобны по двум углам (прямому и вертикальному).
Из подобия имеем пропорцию:
ДЕ/АЕ = ВЕ/ЕС.
Отсюда получаем: ДЕ = (АЕ*ВЕ)/ЕС = (16*20/25) = 64/5 = 12,8 см.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством хорд, проходящих через точку пересечения.

Известно, что хорды AB и CD пересекаются в точке E. Также дано, что AC является диаметром окружности, а AE = 16 см и BE = 20 см.

По свойству хорд, пересекающихся в точке E, получаем: AE * EB = CE * DE

Подставляем известные значения: 16 см * 20 см = CE * DE

320 см² = CE * DE

Также известно, что AC является диаметром окружности, а значит, CE является радиусом окружности. Поэтому CE = AC / 2 = 39 см / 2 = 19.5 см.

Подставляем значение CE в уравнение: 320 см² = 19.5 см * DE

Делим обе части уравнения на 19.5 см: 320 см² / 19.5 см = DE

Получаем: DE ≈ 16.41 см

Таким образом, ДЕ ≈ 16.41 см.