Question

1. в равнобедренном треугольнике mnk MN = NK , длина боковой стороны - 11 см, ND - биссектриса и MD = 3,5 см. Найдите периметр треугольника MNK 2. известно, что в треугольнике ABC. периметр которого равен 48 см, AB = BC AK - медана. Найдите длину медианы AK, если периметр треугольника ABK равен 36 см. 3. если один из углов равнобедренного треугольника будет равен а) 58 градусов ,)20 градусов, в) 80 градусов, то определите градусную меру других углов. Решите хотя бы одно.

Answer 1

1.
Если MN=NK, следовательно, треугольник MNK равнобедренный. ⇒ MN = 11, NK = 11. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой и высотой. Значит, что MD=DK=3,5. Все основание MK=7. Из этого легко вытащить периметр:
Р=MN+NK+MK=11+11+7=29
3.
Смотря какой угол брать. Если в треугольнике АВС, где В - вершина и именно угол В брать под эти значения, то остальные углы будут равны:
а) ∠А=∠С=180°-58°=122°:2=61°
∠А=∠С=61°
б) 180°-20°=160°:2=80°
∠А=∠С=80°
в) 180°-80°=100°:2=50°
∠А=∠С=50°

Answer 2

Давайте решим каждую из задач по порядку.

1. В равнобедренном треугольнике \(MNK\) известно, что \(MN = NK\), длина боковой стороны \(ND\) - биссектриса, и \(MD = 3.5\) см. Найдем периметр треугольника \(MNK\).

Из условия равнобедренности треугольника следует, что углы при основании равны. Обозначим эти углы через \(\angle M\) и \(\angle N\). Также угол при вершине треугольника \(K\) равен \(180^\circ - \angle M - \angle N\), так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).

Поскольку \(ND\) - биссектриса, мы можем воспользоваться теоремой угловой биссекции: \[ \frac{MD}{MN} = \frac{ND}{NK} \]

Подставим известные значения: \[ \frac{3.5}{MN} = \frac{ND}{NK} \]

Учитывая, что \(MN = NK\), упростим уравнение: \[ \frac{3.5}{MN} = \frac{ND}{MN} \]

Теперь решим уравнение относительно \(MN\). Умножим обе стороны на \(MN\): \[ 3.5 = ND \]

Таким образом, длина боковой стороны \(MN = NK = ND = 3.5\) см.

Теперь найдем периметр треугольника \(MNK\): \[ P = MN + NK + MK \] \[ P = 3.5 + 3.5 + 11 \] \[ P = 18 \]

Ответ: Периметр треугольника \(MNK\) равен 18 см.

2. В треугольнике \(ABC\) известно, что периметр равен 48 см, \(AB = BC\), а \(AK\) - медиана. Найдем длину медианы \(AK\).

Медиана в треугольнике делит сторону, к которой она проведена, пополам. Таким образом, \(AK = \frac{1}{2}AB\).

Из условия \(AB = BC\) следует, что \(AB = \frac{48}{3} = 16\) см. Тогда \[ AK = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \]

Ответ: Длина медианы \(AK\) равна 8 см.

3. Если один из углов равнобедренного треугольника равен: а) \(58\) градусов, б) \(20\) градусов, в) \(80\) градусов, то определите градусную меру других углов. Решим, например, задачу для случая \(a) 58^\circ\).

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Пусть эти углы будут \(A\) и \(B\), а угол при вершине будет \(C\).

Из условия следует, что \(A = B = 58^\circ\), и \(C = 180^\circ - 2 \times 58^\circ = 64^\circ\).

Таким образом, углы треугольника равны: \(A = B = 58^\circ\) и \(C = 64^\circ\).

Мы можем использовать аналогичный подход для других случаев (б и в) для нахождения углов треугольника.